$$\frac{\partial \rho}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial t}(\rho u)$$
$$\frac{\partial \rho}{\partial y}=-\frac{\partial }{\partial t}(\rho v)$$

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v)=-\rho^2(1-u^2-v^2)$$

Делаем подстановку

$$\rho=\frac{\partial }{\partial t}\phi$$

Тогда получаем:

$$\rho u=-\frac{\partial }{\partial x}\phi,~~~~\rho v=-\frac{\partial }{\partial y}\phi$$

или

$$ u=-\frac{\phi_x}{\phi_t},~~~~v=-\frac{\phi_y}{\phi_t}$$

Отсюда

$$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]\phi=-(\phi_t)^2\left(1-\left[\frac{\phi_x}{\phi_t}\right]^2-\left[\frac{\phi_y}{\phi_t}\right]^2\right)$$

Сделаем подстановку:

$$ \phi=\ln \psi$$

В результате уравнение принимает вид уравнения Д'Аламбера:

$$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]\psi=0$$

Таким образом, полученное  представление связывает как и в одномерном случае уравнение  Д'Аламбера для функции $T$ и функции $\psi$. Что и требовалось доказать. Надо указать теперь явную связь между этими функциями:

$$ \rho=-\frac{T_{xx}+T_{yy}}{T_t}=\phi_t=\frac{\partial \ln \psi}{\partial t}$$

Связь не тривиальная!

Добавляю (19.04.10)!  На самом деле в силу уравнения $T_{xx}+T_{yy}=T_{tt}$  имеем

$$ \rho=-\frac{T_{xx}+T_{yy}}{T_t}=\frac{T_{tt}}{T_t}=\phi_t=\frac{\partial \ln \psi}{\partial t}$$

Отсюда  $\ln T_t = \ln \psi$ или $T_t = \psi$. А это уже  почти тождественное преобразование. В одномерном случае все выглядит более сложно. Надо разобраться.

  Надо еще постараться выяснить основные свойства гидродинамического потока, связанного с уравненим Д'Аламбера. Следует выписать уравнения для $u$ и $v$.

 (Прошу прощения за несколько непонятные выкладки. Это в основном предназначено для Илдуса Хасанова и Дмитрия Зиновьева в связи с подготовкой к конференции. Так удобней передавать информацию. Полный текст выкладок будет сделан позже с необходимыми разоблачениями)