Работа в основном соответствует варианту на русском языке статьи Zhuravlev V.M. Matter and space. New theory of fields and particles. Gravitation and cosmology, 2022, N4  pp. 319-341

В работе излагается теория единого геометрического описания пространства и материи на основе новой по отношению к Общей теории относительности концепции. Теория строится на основе критического анализа Общей теории относительности. Вводится принцип материальности пространства. Описание материи опирается на представление о пространстве как материальной трехмерной гиперповерхности, вложенной в четырехмерное евклидово пространство. Частицы материи связываются с протяженными областями материальной гиперповерхности, а их свойства такие, как заряд и масса, с топологическими и геометрическими свойствами этой гиперповерхности. Центральное место в математическом аппарате описания самой материальной гиперповерхности и частиц материи играют поля маркеров, аналогичные по своей сути гидродинамическим маркерам, используемым в классической гидромеханике.
На основе теории маркерных полей обсуждаются вопросы  топологической структуры частиц и связи электрического заряда с топологией материальной гиперповерхности. Масса частиц представляется свойством самой материальной гиперповерхности и имеет одновременно смысл гравитационной и инертной массы. Поля, гравитационное и электромагнитное, являются свойствами геометрии материальной гиперповерхности, выраженными в терминах маркерных полей. Для описания динамики частиц вводится геометрический принцип усреднения, который в результате приводит к уравнениям механики Ньютона и квантовой теории.

1. Введение

Проблемы, обсуждению которых посвящена данная работа, относятся к фундаментальным понятиям современной физики - массе, электрическому заряду и их связи со структурой физического пространства как материального объекта. Подход к описанию пространства как материального объекта в форме трехмерной гладкой гиперповерхности, вложенной в объемлющее евклидово пространство четырех измерений, представлен в работах [1,2,3,4,5,6.7.8.9]. В работах [8.9] был сформулирован принцип материальности пространства в качестве альтернативы общему подходу Специальной (СТО) и Общей (ОТО) теории относительности. Необходимость в принятии принципа материальности пространства обосновывалась в этих работах тем, что пространство-время СТО и ОТО, являясь нематериальным объектом, тем не менее, наделяется измеримыми в эксперименте физическими свойствами. В СТО - это свойства изменения масштабов длины и скорости хода часов при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. В ОТО - это дополнительные свойства кривизны пространства-времени, определяющие свойства гравитационного поля. В результате в физических теориях появляются противоречия и парадоксы, например, парадокс близнецов в СТО и проблема энергии гравитационного поля в ОТО.
      В более ранних работах [1,2.3.4.5.6,7] обсуждался новый подход к описанию электрического заряда, массы и связанных с ними полей - электромагнитного и гравитационного, а также квантовой теории. Базовым подходом к описанию всех этих физических понятий являлось представление пространства как трехмерной гиперповерхности ${\cal V}^3$ в объемлющем четырехмерном евклидовом пространстве ${\cal W}^4$. Форма этой гиперповерхности определяется функцией высоты ${\cal F}({\bf x},t)$ в соответствии с уравнением: $$  \label{DefH3d}w = {\cal F}({\bf x},t),\tag{1.1}$$ где ${\bf x}=(x^1,x^2,x^3)$ и $w$ - декартовы координаты в ${\cal W}^4$, которые связываются с выделенной гиперплоскостью ${\cal P}^3\in {\cal W}^4$ и ортогональным к ней направлением соответственно.  Материальность гиперповерхности ${\cal V}^3$ в таком подходе описывается введением в теорию маркеров точек этой гиперповерхности, которые являются аналогом гидродинамических маркеров, используемых в гидродинамике.
       Как объяснялось в работах [8,9], маркеры являются наиболее простым и естественным способом слежения за материальными объектами практически любого типа.    В данной работе предлагается обновленное изложение теории, которая в указанных работах была  названа Топологическая   теория фундаментальных полей (ТТФП). Описание нового подхода начнем с изложения принципа материальности физических объектов, который был сформулирован в работах [8,9], с  применением этого физического принципа и к физическому пространству. Далее будет рассмотрен общий подход - теория маркерных полей, которая представляется наиболее адекватным способом описания материальных объектов любой природы. Теория маркерных полей для описания материального пространства в форме гиперповерхности в ${\cal W}^4$ в общих чертах также была рассмотрена в работах [8,9]. Следует отметить, что теория маркеров является одним из стандартных способов описания гидродинамических течений газа и жидкости.  Новым в предлагаемой теории является использование теории маркеров для описания гравитационного и электромагнитных полей [1,2,3,4,5,6,7,8,9]. Начнем с использования маркерных полей для описания течений газа и пыли в собственном поле тяготения, которые являются основным объектом исследования в задачах астрофизики. Далее будет показано, как такой подход переносится на задачи описания самой структуры пространства и частиц материи, которые мы воспринимаем как элементарные частицы. Такие частицы подчиняются законам квантовой физики, которая также не лишена трудностей с рациональной интерпретацией ее выводов (см. например, [10]). Поэтому в статье кратко остановимся на том, как теория маркеров позволяет рационально объяснить основные идеи, лежащие в основе квантовой теории, не прибегая к постулатам о невозможности понять микромир с помощью нашего опыта жизни в макромире классической механики.

2. Принцип материальности физических объектов

Необходимость введения в современную физическую теорию, казалось бы, очевидного принципа материальности физических объектов, которые изучаются с помощью приборов в физических экспериментах, назрела в связи с трудностями, которые испытывают все базовые физические концепции - СТО, ОТО и квантовая теория. Данный принцип формулируется следующим образом: Любой объект, который может быть обнаружен физическими приборами и обладает регистрируемыми в физическом эксперименте свойствами, должен быть материальным объектом, т.е. должен обладать фундаментальными свойствами материи - массой и энергией.
     Наличие трудностей в СТО, ОТО и квантовой теории обсуждалось на протяжении всего XX века множеством авторов, например, работы Фока [11], Брюллюэна [12] по СТО, ОТО и работа Садбери [10] по строгой формулировке постулатов квантовой теории. Анализ этих трудностей  [8,9] указывает на то, что основным источником проблем современных физических теорий является нарушение принципа материальности физических объектов в области описания строения и динамики основного объекта СТО и ОТО - пространства-времени Эйнштейна. Само пространство-время в СТО и ОТО является нематериальным объектом, как и пространство в классической механике.
      В классической механике измерение расстояний возможно только между отдельными материальными телами или их частями. Общее представление о трехмерном пространстве в эксперименте и теории возникает как совокупная математическая модель, адекватно объединяющая в себе весь набор расстояний между материальными объектами, полученных в результате экспериментов. Такая же ситуация переносится и на пространство-время СТО и затем и ОТО, в которых пространство по необходимости объединяется со временем. В отличие от классической механики, в которой пространство и время абсолютны и лишены каких-либо физических свойств, кроме собственно протяженности и длительности,  пространство-время в СТО и ОТО наделяется особыми физическими свойствами. В СТО - это изменение масштабов длины и времени при переходе от одной системы отсчета к другой, которые обнаруживаются в эксперименте, и с помощью которых объясняется целый ряд реально наблюдаемых физических явлений.
      В ОТО пространство-время наделяется дополнительно свойством кривизны, которое служит для объяснения такого явления как тяготение. Идея Эйнштейна о том, что сами свойства пространства-времени определяют те явления, которые мы называем полем тяготения, представляется одной из наиболее важных идей в физике XX века. А.Эйнштейн придал конкретный физический смысл догадкам ученых XIX века Лобачевского, Гаусса и Клиффорда, что свойства неевклидова пространства могут объяснить многие явления в  наблюдаемом мире, вплоть до геометрической сути самой материи, как это предлагал в общих чертах Клиффорд [13]. Без этой идеи трудно понять, что из себя представляют поля тяготения и электромагнитные поля. Когда мы наблюдаем орбитальное движение планет вокруг Солнца или Луны вокруг Земли, то мы не видим никакой специфической субстанции, которая заставляет планеты двигаться, отклоняясь от равномерного и прямолинейного движения. Подобные вопросы можно отнести и к электромагнитному полю.  Поля не имеют ни цвета, ни вкуса, ни запаха. Если же предположить, что поля есть свойства самого пространства, то тогда все проблемы исчезают сами собой. Однако при этом возникает другая проблема - проблема материальности самого пространства.
     Эта проблема состоит в том, что, наделяя нематериальный объект физическими свойствами, мы отказываемся указывать конкретный физический механизм, который является ответственным за то или иное физическое явление. Это и приводит к различным парадоксам. Суть такой неадекватности теории объяснялась на примере парадокса близнецов и эффектов, связанных с атмосферными мюонами в [8,9]. С математической точки зрения СТО и ОТО выглядят абсолютно идеальными. Тем не менее, математика часто сама указывает на противоречия при попытке связать нематериальные объекты с реальными физическими процессами. Например, такая ситуация имеет место в ОТО при попытках определить энергию гравитационного поля, которое описывается свойствами неевклидова псевдориманова пространства-времени. Невозможность приписать гравитационному полю в форме пространства-времени Эйнштейна какую-либо определенную энергию приводит к невозможности построить квантовую теорию гравитации. Математически эта проблема сводится к тому, что аналог тензора энергии-импульса для гравитационного поля не является тензором. Это и приводит с математической точки зрения к указанной проблеме с энергией гравитационного поля.
     Принцип материальности пространства исключает возникновение таких проблем. Вместе с тем он не дает и прямых указаний на то, как должна строиться теория описания пространства и времени, которая описывала бы всю совокупность физических явлений. Для преодоления этой трудности мы воспользуемся, как уже отмечалось во введении, теорией маркеров и маркерных полей.

3. Классические силовые поля и поля маркеров

Типичной задачей, которая встречается в астрофизике при описании различных эволюционирующих структур и объектов таких, как звезды и галактики, является задача описания течений газа и пыли в собственном поле тяготения. Во всех задачах, не связанных со сверхплотными объектами, такими как нейтронные звезды, черные дыры и квазары, обычно пренебрегают эффектами ОТО, т.е. рассматривают пространство как трехмерное абсолютное пространство классической механики с независимым равномерным течением времени во всех точках пространства. В большинстве таких задач также пренебрегают и эффектами СТО, поскольку для большинства таких объектов скорость течений пыли и газа значительно меньше скорости света. Основой описания самой среды в таких задачах является модель сплошной среды, т.е. среды, состоящей из материальных точек, имеющих форму геометрических точек, наделенных физическими свойствами  - массой и, возможно, электрическим зарядом, если речь идет о плазме. В реальности под материальными точками подразумевают атомы, а в некоторых задачах галактической и космологической динамики - отдельные звезды.
      Для описания самогравитирующей среды, состоящей из материальных точек, можно использовать два подхода - Лагранжа и Эйлера. В лагранжевом подходе материальные точки среды фиксируют с помощью тех или иных маркеров, например, помечая их координатами, которые они имели в начальный момент времени. В этом случае уравнения движения Ньютона записываются для каждой частицы в отдельности. Однако чаще пользуются эйлеровым подходом, состоящим в том, что уравнения записываются для каждой материальной точки, оказавшейся в выбранной точке пространства в фиксированный момент времени. Система уравнений Эйлера, которая описывает течения газа и пыли в собственном поле тяготения имеет следующий вид: $$\label{Equ}{\bf u}_t+({\bf u},\nabla){\bf u} = -\frac{1}{\rho_m}\nabla p - \nabla\phi,\tag{3.1}$$ $$\label{Eqrhom} \rho_{m,t}+{\rm div}(\rho_m{\bf u})=0,\tag{3.2}$$ $$\label{Eqphi} \Delta\phi = 4\pi G \rho.\tag{3.3}$$ Здесь ${\bf u}=(u^1,u^2,u^2)$ - векторное поле скорости течения среды, $\rho_m({\bf x},t)$ - плотность массы среды, $\phi({\bf x},t)$ - потенциал гравитационного поля, $p({\bf x},t)$ - давление в среде, $G$ - гравитационная постоянная Ньютона. Первое уравнение этой системы (\ref{Equ}) есть уравнения Эйлера динамики среды. Уравнение (\ref{Eqrhom}) - это уравнение закона сохранения массы, а  уравнение (\ref{Eqphi}) является уравнением Пуассона для потенциала гравитационного поля. Для замыкания этой системы уравнений к ней еще необходимо добавить уравнение состояния среды и, возможно, уравнение теплопроводности.
      Вместе с тем, в подходе Эйлера также можно перейти к описанияю динамики среды, используя поля маркеров. Маркеры - это такие поля, значения которых не меняются вдоль линий тока. Пусть $e^a({\bf x},t),~a=1,2,3$ - набор маркерных полей. Тогда, по определению, эти поля удовлетворяют уравнениям переноса маркеров: $$\label{Eqeau}\frac{de^a}{dt}=\frac{\partial e^a}{\partial t}+({\bf u},\nabla)e^a=0,~a=1,2,3.\tag{3.4}$$ Такой подход широко используется в задачах астрофизики, когда речь идет о сферически симметричных течениях. В этом случае в качестве маркера выступает массовая функция ${\cal M}=4\pi \int\limits_{0}^r \rho r^2 dr$ - количество массы, содержащейся внутри шара радиуса $r$ (см., например, [14]).
     Наиболее важным в таком подходе для дальнейших обобщений является то, что напряженность гравитационного поля оказывается тесно связанной с маркерными полями, что послужило основой для развития теории ТТФП, описывающей материю как таковую в форме элементов топологии и геометрии пространства. Более того, все основные динамические параметры среды - поле скоростей и плотность, также могут быть выражены исключительно в терминах маркерных полей. В частности, из уравнений переноса маркеров (\ref{Eqeau}) автоматически следует связь маркерных полей с полем скорости среды: $$\label{Defu}     u^{\alpha} = -\frac{\partial e^a}{\partial t}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}.\tag{3.5}$$ 
      Используя уравнения переноса маркеров (\ref{Eqeau}), можно получить общее представление для плотности, которая автоматически удовлетворяет уравнению сохранения массы (\ref{Eqrhom}). Дифференцируя (\ref{Eqeau}) по координатам, приходим к следующему соотношению: $$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial e^a}{\partial x^{\alpha}}+\frac{\partial }{\partial x^{\alpha}}\left(u^{\beta}\frac{\partial e^a}{\partial x^{\beta}}\right)=0.$$ Умножая данное соотношение на производные $\partial x^{\alpha}/\partial e^a$ и сворачивая результат по индексам $\alpha$ и $a$, приходим к уравнению: $$\label{EqJ}\frac{\partial |J|}{\partial t}+ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\Big(|J|u^{\alpha}\Big)=0,\tag{3.6}$$ где $J$ - якобиан преобразования $e^a\to x^{\alpha}$: $$\label{DefJ}J = \det\left(\frac{\partial e^a}{\partial x^{\alpha}}\right).\tag{3.7}$$ Сравнивая (\ref{Eqrhom}) и (\ref{EqJ}), приходим к тому, что с формальной точки зрения плотность $\rho$ среды можно отождествить с $|J|$. В более общей интерпретации соотношение между $\rho$ и $|J|$ может иметь такой вид: $$\label{DefrhoJ}\rho_m = m_0 {\cal M}({\bf e}) |J|,\tag{3.8}$$ где ${\cal M}({\bf e})$ - произвольная достаточно гладкая функция  маркерных полей: ${\bf e} = (e^1,e^2,e^3)$, а $m_0$ - постоянная размерности массы, обеспечивающая необходимую размерность плотности массы $\rho_m$. Для любой такой функции ${\cal M}({\bf e})$ функция $\rho_m$ является сохраняющейся плотностью, в чем можно убедиться прямой проверкой соотношения: $$\frac{\partial \rho_m}{\partial t}+{\rm div}(\rho_m{\bf u})=0.$$ Множитель ${\cal M}({\bf e})$ по своему смыслу определяет некоторые отличия в свойствах частиц среды и будет играть важную роль в дальнейшей интерпретации гравитационных полей.
      Соотношение (\ref{DefrhoJ}) определяет связь между свойствами маркерных полей и плотностью массы среды. Рассмотрим теперь, как устанавливается связь между маркерными полями и ускорением свободного падения, обусловленного силой тяготения. Для этого рассмотрим формальное тождество: $$\label{Eqvea1}\frac{\partial e^a}{\partial e^a} = 3,\tag{3.9}   $$ которое выполняется на декартовой карте пространства маркеров ${\cal E}^3$. Перейдем теперь в этом тождестве к пространственным координатам, функциями которых являются маркерные поля. В результате поточечного преобразования пространства маркеров в координаты физического пространства: $e^a\to x^{\alpha}$ тождество (\ref{Eqvea1}) превращается в соотношение следующего вида: $$\label{Eqvg}\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\left(|J|\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}e^a\right) = 3|J|.\tag{3.10}$$ Поскольку $|J|$ связано с плотностью среды, то логичным предположением является интерпретация (\ref{Eqvg}) как уравнения Пуассона для ускорения свободного падения, которое должно в этом случае иметь такой вид: $$\label{Defg} g^{\alpha} = g_0^{\alpha}+{\rm rot}\ {\bf z},\tag{3.11}$$ где $$\label{Defg0}g_0^{\alpha} = \frac{4\pi G}{3}m_0|J| \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}e^a.\tag{3.12}$$   Слагаемое ${\rm rot}\ {\bf z}$ позволяет добиться того, чтобы ускорение свободного падения имело стандартный вид градиентного поля. Для этого векторное поле ${\bf z}$ должно удовлетворять уравнению: $${\rm rot}{\rm rot}\ {\bf z} =-{\rm rot}\ {\bf g}_0,$$ где ${\bf g}_0$ имеет компоненты (\ref{Defg0}). Таким образом, все основные элементы описания динамики самогравитирующей среды (за исключением ее температуры) могут быть выражены через свойства полей маркеров $e^a$.
     Заметим, что частично аналогичные построения можно проделать и для течения плазмы в магнитогидродинамическом приближении. Действительно, поскольку плотность заряда $\rho_e$ является сохраняющейся величиной, то для нее должно выполняться уравнение:  $$\label{Eqrhoe}\rho_{e,t}+{\rm div}(\rho_e{\bf u})=0.\tag{3.13}$$ Отсюда следует, что плотность заряда также связана с полями маркеров, аналогично плотности массы: $$\label{DefrhoeJ}       \rho_e = e_0{\cal Q}({\bf e})|J|.\tag{3.14}$$ Здесь ${\cal Q}({\bf e})$ - величина, характеризующая заряд точки с маркерами ${\bf e}$, а $e_0$ - размерный множитель, обеспечивающий правильную размерность $\rho_{e}$.  Это соотношение отражает лишь тот факт, что среда состоит из материальных точек, но дополнительно наделенных электрическим зарядом. В отличие от реального электрического заряда заряд материальных точек бесконечно мал и не дискретен. В отличие от электронейтральной среды на плазму действуют и электрическое, и магнитное поля. Для напряженности электрического поля уравнение имеет по форме вид, аналогичный уравнению Пуассона для напряженности гравитационного поля: $$\label{EqE}       {\rm div}{\bf E} = 4\pi \rho_e.\tag{3.15}$$ Отсюда следует, что напряженность электрического поля можно связать со свойствами маркеров по аналогии с (\ref{Defg}) и (\ref{Defg0}). Трудности в этом случае возникают лишь с силой Лоренца и магнитным полем. Этот вопрос будет рассмотрен далее в рамках нового подхода.
      Основной вывод, который можно сделать из предыдущего анализа, состоит в том, что  для классических силовых полей - гравитационного и электрического, действующих на непрерывную среду, существует их эффективное представление через свойства маркерных полей $e^a=e^a({\bf x},t)$, ``нумерующих'' точки среды. Более общий принцип, который будет использован далее, состоит в том, что любой материальный объект может быть представлен на определенном уровне описания как набор материальных точек, динамика которых  сформулирована в терминах динамики маркерных полей, по определению удовлетворяющих уравнениям (\ref{Eqeau}). Этот принцип будет применен к самому пространству. Это позволит построить замкнутую схему объяснения наблюдаемых свойств полей и частиц с помощью геометрических и топологических свойств трехмерного пространства как гиперповерхности ${\cal V}3$, вложенной в евклидово четырехмерное пространство ${\cal W}^4$. Такой подход представляет собой новую реализацию идей Клиффорда и Эйнштейна о геометрическом происхождении физических полей и материальных частиц, а также их свойств.

4. Маркерные поля и геометрия пространства

Как уже отмечалось, первым исходным положением новой теории, которое определяет общую схему объяснения свойств полей и материи с геометрической точки зрения, состоит в том, что трехмерное физическое пространство представляется в виде неевклидовой трехмерной гиперповерхности ${\cal V}^3$, вложенной в евклидово четырехмерное пространство ${\cal W}^4$. Само пространство ${\cal W}^4$ представляется в теории абсолютным пространством, время в котором течет одинаково во всех его точках. Отличием этого пространства от абсолютного пространства классической механики является только его размерность. Это пространство нематериальное. Это не означает, что в будущих теориях это пространство не придется наделять какими-либо физическими свойствами. Но после того, как по необходимости это пространство будет снабжаться некими измеримыми физическими параметрами, оно должно будет приобрести статус материального объекта.
     Поскольку гиперповерхность ${\cal V}^3$ признается материальным объектом, который выделяется в ${\cal W}^4$ с помощью уравнения (\ref{DefH3d}), его динамика может быть описана с помощью маркерных полей $e^a({\bf x},t)$, которые теперь ``нумеруют'' не точки среды, ``расположенной'' в пространстве, а сами точки гиперповерхности ${\cal V}^3$. Уравнения переноса маркеров в этом случае будут совпадать с уравнениями (\ref{Eqea}) с тем отличием, что координаты ${\bf x}=(x^1,x^2,x^3)$ положения маркеров относятся не к ${\cal V}^3$, а к трехмерной выделенной  гиперплоскости ${\cal P}^3$, для которой записано уравнение (\ref{DefH3d}). Гиперплоскость ${\cal P}^3$ при этом следует рассматривать как математическую реализацию инерциальной системы отсчета. В силу этого, работая с неевклидовой гиперповерхностью ${\cal V}^3$,  будем использовать обычные для классической механики декартовы пространственные координаты, что важно для вывода ряда важных математических соотношений теории.
      Использование маркерных полей при построении теории позволяет сразу ввести в теорию несколько физических параметров, которые могут быть связаны со свойствами материи. Для этого рассмотрим вновь уравнения переноса маркеров (\ref{Eqeau}): $$\label{Eqea}      \frac{\partial e^a}{\partial t} +({\bf {\sf V}},\nabla)e^a =0,\tag{4.1}$$ но изменим для удобства обозначение поля переноса ${\bf u}$ на ${\bf {\sf V}}$ с компонентами ${\sf V}^{\alpha}$, имея ввиду то, что поле переноса ${\bf {\sf V}}$, заданное на плоскости ${\cal P}^3$ описывает перенос не точек среды, а точек гиперповерхности ${\cal V}^3$.
     Первым параметром, который можно получить по аналогии с предыдущими построениями, является функция $|J|$ - модуль якобиана отображения $e^a\to x^\alpha$, который вычисляется по правилу (\ref{DefJ}). По своей сути величина $|J|$ определяет плотность числа маркеров или точек гиперповерхности ${\cal V}^3$, содержащихся в малой окрестности каждой точки с координатами ${\bf x}$ на гиперплоскости ${\cal P}^3$. Как следует из (\ref{EqJ}), эта величина является сохраняющейся плотностью, что позволяет ее связать с плотностью массы материи, если материальные объекты каким-либо образом выделить из структуры самой гиперповерхности ${\cal V}^3$. Следуя этой идее, можем полагать, что реальная плотность массы, соответствующая каждой точке пространства ${\bf x}$, может быть вычислена в соответствии с формулой (\ref{DefrhoJ}), но в которой постоянная $m_0$ размерности массы должна являться фундаментальной постоянной. При этом функция ${\cal M}({\bf e})$ будет отражать свойство ``массивности'' каждой отдельной точки гиперповерхности ${\cal V}^3$. Это свойство массивности может иметь различные физические воплощения, например, отражать наличие неравномерной ``толщины'' материального объекта, который мы описываем в теории в виде материальной гиперповерхности ${\cal V}^3$.
     Вторым естественным свойством пространства как материального объекта, который мы получаем, используя маркерные поля, является поле тяготения. По аналогии с плотностью среды, будем полагать, что функция: $$\label{DefrhomG}\rho_m=m_0{\cal M}({\bf e})|J|,\tag{4.2}$$ есть плотность массы точек гиперповерхности ${\cal V}^3$ в проекции на ${\cal P}^3$. Теперь $|J|$  есть плотность маркеров, а ${\cal M}({\bf e})$ есть свойство ``массивности'' точек самой ${\cal V}^3$. Для любой функции ${\cal M}({\bf e})$ и поля переноса ${\bf {\sf V}}$ функция $\rho_m$ является сохраняющейся плотностью, как это уже отмечалось: $$\label{DefCLG}\frac{\partial \rho_m}{\partial t}+{\rm div}(\rho_m{\bf {\sf V}})=0.\tag{4.3}$$ Более того, выбирая в качестве ${\cal M}({\bf e})$ различные функции, можно перечислить все возможные сохраняющиеся плотности, отвечающие заданным $|J|$  и ${\bf {\sf V}}$.
      Используя теперь тождества  (\ref{Eqvea1}) и (\ref{Eqvg}), приходим к уравнению Пуассона: $$\label{EqPsG}{\rm div}{\bf {\sf g}} = 4\pi G {\cal R}({\bf x},t)\rho_m\tag{4.4}$$ c компонентами: $$\label{DefgG}{\sf g}^{\alpha} = {\sf g}^{\alpha}_0+ [\nabla\times {\bf z}]^{\alpha},~\alpha=1,2,3,\tag{4.5}$$ где $${\sf g}^{\alpha}_0 = \frac{4\pi m_0 G}{3}{\cal M}({\bf e})|J| e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}.$$ Функция ${\cal R}$ при этом имеет следующий вид: $$\label{DrfcR} {\cal R} = 1 + \frac{1}{3}e^a\frac{\partial \ln {\cal M}}{\partial e^a}.\tag{4.6}$$ Последнее слагаемое в (\ref{DefgG}), являющееся по сути калибровкой для напряженности гравитационного поля, играет теперь иную роль, чем аналогичное слагаемое в (\ref{Defg}). Теперь нет никаких оснований считать, что поле ${\bf {\sf g}}$ должно являться градиентом некоторого потенциала. Однако слагаемое ${\rm rot}{\bf z}$ может обеспечивать специальные условия для ${\bf {\sf g}}$ на больших расстояниях от материальных тел, где согласно теории тяготения Ньютона ускорение свободного падения должно стремиться к нулю.
     Сделаем несколько замечаний относительно полученных соотношений. Нетрудно видеть, что если ${\cal M}({\bf e})$ не является постоянной величиной, то в правой части обобщенного уравнения Пуассона (\ref{EqPsG}) перед массой среды появляется множитель ${\cal R}$, который можно связать с явлением, которое в настоящее время называется скрытой массой или массой темной материи. Это изначально делает теорию пригодной для объяснения темной материи, как свойств самого пространства. Такая идея более подробно обсуждалась в работах [4,7].
     Вторым замечанием является то, что в разрабатываемой теории нет никаких оснований добиваться того, чтобы это поле ${\bf {\sf g}}$  (\ref{DefgG}) было градиентом некоторого потенциала. В задачах классической теории в силу закона тяготения Ньютона напряженность гравитационного поля должна быть градиентом потенциала. Но при построении теории, которая связывает поле тяготения с геометрическими свойствами пространства, изначально такое положение вводить нет необходимости. При этом вихревую составляющую этого поля необходимо включать в теорию как один дополнительный вид действия реального поля тяготения, которое при определенных условиях исчезает или становится настолько малым, что оказывается незаметным в экспериментах. Следует отметить, что на возможность существования вихревой составляющей гравитационного поля указывал Бриллюэн в своей работе [12].  Такое предположение возникает из простого сравнения классического уравнения Пуассона для поля тяготения и первого уравнения Максвелла для напряженности электрического поля.
     Интерес представляет также физический смысл поля ${\bf {\sf g}}_0$, связанный со способом появления уравнения Пуассона в данной теории. В отличие от классической механики, где уравнение Пуассона является прямым следствием закона тяготения Ньютона, в разрабатываемой теории уравнение появляется как следствие тождества (\ref{Eqvea1}) для координат $e^a$ в пространстве маркеров. Это открывает возможность дать наглядную трактовку физического смысла поля тяготения через свойства ${\cal V}^3$ как материального объекта. Формально математический смысл  (\ref{EqPsG}) проистекает из тождества (\ref{Eqvea1}). Изначально тривиальное тождество (\ref{Eqvea1}) в результате перехода к координатам на гиперплоскости ${\cal P}^3$ означает топологическую неразрывность нумерации точек физической гиперповерхности ${\cal V}^3$ и, следовательно, самой ${\cal V}^3$.  Но более ясную интерпретацию можно будет дать после того, как в теории появится представление о частицах материи.

5. Электрическое поле и поля маркеров

Для введения в теорию частиц материи необходимо перечислить те фундаментальные их свойства, которые теория должна объяснить и описать в терминах геометрии и топологии ${\cal V}^3$, связав их с маркерными полями. В первую очередь в теорию необходимо ввести представление об электрическом заряде и связанных с ним электромагнитных полях. Однако теперь мы не можем просто наделить точки ${\cal V}^3$ свойством электрического заряда, как это можно было сделать для плазмы. Важным обстоятельством, которое необходимо учитывать при новой геометрической реализации электрического заряда, является его дискретность. Если приписать свойство иметь целочисленный заряд точкам ${\cal V}^3$, которая представляется в теории гладкой гиперповерхностью  в ${\cal W}^4$, то плотность такого заряда будет всюду разрывной функцией, а суммарный заряд отдельных областей пространства будет меняться непредсказуемым образом. Поэтому сама целочисленность электрического заряда указывает на то, что такая величина должна быть характеристикой не точек ${\cal V}^3$, а отдельных его областей. Вместе с тем необходимо учитывать, что электрический заряд в экспериментах имеет пространственную локализацию. Заряд ``сосредоточен'' внутри отдельных элементарных частиц - электронов, протонов и т.д. При этом электрон ведет себя в экспериментах по рассеянию как точечный объект, а в структуре нуклонов обнаруживаются точечные рассеиватели - партоны. Учитывая дискретность величины заряда и данные о локализации зарядов внутри частиц,  можно прийти к заключению, что заряд должен трактоваться как элемент описания топологии гиперповерхности ${\cal V}^3$.
      В математике целочисленные величины, характеризующие структурные особенности областей пространства, связываются с топологическими их инвариантами [24,20,25,26]. Поэтому естественным подходом для введения в теорию целочисленного электрического заряда, и как выяснится далее,  других зарядовых чисел, например, барионного заряда, следует считать  подход, основанный на теории топологических инвариантов трехмерных областей пространства. Такая идея была предложена в работах [17,18].
      Путь для построения нужного описания частиц материи, наделенных дискретным целочисленным зарядом, можно усмотреть в использовании дифференциальных тождеств для маркерных полей, как это было сделано для поля тяготения. Идея использования маркерных полей для введения в теорию дискретного электрического заряда была предложена в работах [1,2,3,4,5]. Этот же подход дает естественное описание частиц материи, как областей пространства, выделенных специальным образом.
     По аналогии с тождеством (\ref{Eqvea1}) рассмотрим другое тождество, записанное в координатах пространства маркеров ${\cal E}^3$. Это тождество имеет вид: $$\label{Eqvea2}\frac{\partial}{\partial e^a}\frac{e^a}{|{\bf e}|^3} = 4\pi \delta({\bf e}),\tag{5.1}$$ где $|{\bf e}|^2=s\sum\limits_{a=1}^3(e^a)^2$, а $\delta({\bf e})=\delta(e^1)\delta^2(e^2)\delta(e^3)$ - дельта-функция Дирака с носителем в начале координат пространства маркеров. В физике тождество (\ref{Eqvea2} является формальным следствием закона Кулона и определения напряженности поля точечного электрического заряда, равного единице.
     Преобразуя это тождество, как и в случае (\ref{Eqvea1} к координатам на ${\cal P}^3$, приходим к следующему соотношению: $$\label{EqveaE}\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\left(\frac{|J|}{|{\bf e}|^3}e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}\right) = 4\pi |J|\delta({\bf e}({\bf x},t)).\tag{5.2}$$ В правой части данного соотношения стоит выражение, содержащее $\delta$-функцию от полей $e^a({\bf x},t)$, которые сами являются функциями координат. Из свойств $\delta$-функции [15] следует: $$\label{Eqgd}\delta({\bf e}({\bf x},t)) = \sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{|J({\bf x}_k(t),t)|}\delta({\bf x}-{\bf x}_k(t)),\tag{5.3}$$ где сумма справа берется по всем нулям ${\bf e}({\bf x},t)$ на ${\cal P}^3$, имеющих координаты ${\bf x}_k(t)$: $e^a({\bf x}_k(t),t)=0,~a=1,2,3,~k=1,\ldots,N$.
      Вид этого соотношения позволяет формально интерпретировать его как первое уравнение Максвелла: $$\label{EqMaxq}{\rm div}{\bf {\sf D}}_q = 4\pi\rho_q,\tag{5.4}$$ для электрического поля с индукцией ${\bf {\sf D}}$ с компонентами: $$\label{DefDq}{\sf D}_q^{\alpha} = \frac{|J|}{|{\bf e}|^3}e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a},~\alpha=1,2,3,\tag{5.5}$$ где $\rho_q$ определяется соотношением (\ref{Eqgd}) и имеет вид: $$\label{Defrhoq}\rho_q = e_0\sum\limits_{k=1}^N\delta({\bf x}-{\bf x}_k(t)).\tag{5.6}$$ Множитель с якобианом преобразования в выражении для $\rho_q$ сокращается. Смысл такого сопоставления с физической точки зрения состоит в том, что потоки поля ${\bf e}$ через любую замкнутую поверхность $\sigma$, окружающую начало координат на пространстве маркеров ${\cal E}^3$, равен потоку поля ${\bf {\sf D}}_q$ через образ ${\cal S}$ на ${\cal P}^3$ поверхности $\sigma$ на ${\cal E}^3$ в результате отображения ${\bf e}\to{\bf x}$. Поскольку поток поля ${\bf e}$ через $\sigma$ равен $1$, то и поток поля ${\bf {\sf D}}_q$ также равен  1. Замечательным в таком сопоставлении является то, что в теории появляются точечные дискретные заряды, имеющие величину $q=1$, которые при этом не создают проблем с расходимостями в энергии [2,3].  Можно легко показать [2,3], что поле ${\bf {\sf D}}_q$ с компонентами (\ref{DefDq} имеет кулоновскую асимптотику в точках ${\bf x}_k$, которые образуют носитель функции $\delta({\bf e})$, но при этом структура ${\cal V}^3$ остается гладкой.
     Вместе с тем использование ${\bf {\sf D}}_q$ в качестве индукции фундаментального электрического поля требует дополнительных уточнений. В первую очередь необходимо ввести понятие частиц материи, как некоторых элементов структуры ${\cal V}^3$. При этом необходимо, чтобы в теории появились электрические заряды двух типов - положительные и отрицательные. Только после этого появится надежная основа для связи ${\bf {\sf D}}_q$ с полем индукции. Для решения этих задач необходимо связать $e^a({\bf x},t)$  с геометрическими свойствами ${\cal V}^3$, что пока не было сделано. Только констатировали, что $e^a({\bf x},t)$ являются маркерами точек {\cal V}^3$.

6. Топологические ячейки и частицы материи

Для установления связи свойств маркерных полей с геометрией ${\cal V}^3$ воспользуемся тем, что эта гиперповерхность ${\cal V}^3$ выделяется в ${\cal W}^4$ с помощью уравнения (\ref{DefH3d}) с некоторой функцией высоты ${\cal F}({\bf x},t)$, которую в дальнейшем мы будем называть фундаментальным потенциалом. Исходя из того, что ${\cal F}({\bf x},t)$ выделяет геометрическое место точек ${\cal V}^3$ в ${\cal W}^4$, эта функция сама должна быть маркером, т.е. она должна быть функцией маркерных полей $e^a({\bf x},t)$. Вид зависимости ${\cal F} = {\cal F}({\bf e})$ полезно определить удобным для использования в теории частиц способом. Простейшим таким способом является соотношение: $$\label{DefcFi}{\cal F} = {\cal F}_i +  \frac{\varepsilon_i}{2}|{\bf e}|^2,\tag{6.1}$$ записанное для каждой отдельной области пространства ${\cal V}_i,~i=1,2,\ldots$, ограниченной изоповерхностью функции ${\cal F}({\bf x},t)$, внутри которой она достигает единственного локального экстремума - минимума или максимума, либо вообще не имеет экстремумов.   Такие области пространства мы будем называть простыми топологическими ячейками. Функция ${\cal F}_0(t)$ есть значение функции ${\cal F}({\bf x},t)$ в соответствующем ${\cal V}_i$ экстремуме, а значение $\varepsilon_i$ для максимума равно $-1$, для минимума $\varepsilon_i=1$. Простые топологические ячейки, не содержащие экстремумов функции ${\cal F}({\bf x},t)$ будем называть пустыми топологическими ячейками.
    Любую область пространства ${\cal P}^3$, ограниченную замкнутой изоповерхностью ${\cal F}({\bf x},t)$, будем называть топологической ячейкой. Кроме простых топологических ячеек выделим базовые топологические ячейки, ограниченные особыми изоповерхностями, на которых лежит хотя бы одна седловая точка функции ${\cal F}({\bf x},t)$. Наглядное представление о том, что подразумевается под топологическими ячейками, дает рисунок \ref{Fig1}, на котором изображен аналог ${\cal V}^3$ в форме двумерной поверхности. Точки $P_1,~P_2,~P_3$ - локальные экстремумы функции ${\cal F}(x,y)$, являющейся аналогом фундаментального потенциала ${\cal F}({\bf x},t)$. В плоскость ${\cal P}^3$ спроектированы экстремумы и особые изолинии функции ${\cal F}(x,y)$, ограничивающие базовые топологические ячейки. Светло-серым цветом выделены простые топологические ячейки, темно-серым цветом - пустые топологические ячейки.
 

Рис. 1. Двумерный аналог физической гиперповерхности ${\cal V}^3$ с наглядным представлением топологических ячеек всех типов

В дальнейшем будем считать, что с топологической точки зрения ${\cal V}^3$ устроена достаточно простым образом. Будем полагать, что число критических точек функции ${\cal F}({\bf x},t)$ в любой ограниченной области пространства конечно, т.е. функция ${\cal F}({\bf x},t)$ как функция высоты гладкой гиперповерхности ${\cal V}^3$ в ${\cal W}^4$ является функцией Морса [16]. Это упростит все необходимые ссылки на топологические свойства ${\cal V}^3$, которые понадобятся в дальнейшем. Например, в рамках этой общей гипотезы можно предполагать, что всю область гиперплоскости ${\cal P}^3$, на которую проектируются точки ${\cal V}^3$, можно полностью разделить на топологические ячейки. Это соглашение принимается для того, чтобы не рассматривать, хотя бы на первом этапе построения теории, слишком сложные топологические структуры, которые возможны с точки зрения математики.
      Соотношения (\ref{DefcFi}) унифицируют описание топологических ячеек и позволяют придать целочисленному электрическому заряду топологический смысл. Согласно (\ref{DefcFi}) каждой простой топологической ячейке соответствует свой отдельный лист ${\cal E}_i$ пространства маркеров. Для непустых простых ячеек начало координат на декартовой карте пространства маркеров  взаимно однозначно отображается в локальный экстремум, лежащий в этой ячейке. При этом в соответствии с (\ref{DefcFi}) каждая изоповерхность ${\cal F}$ внутри ячейки отображается в концентрическую сферу на декартовой карте листа ${\cal E}_i$, радиус которой определяется соотношением: $$\label{DefR} R = \sqrt{2|{\cal F}-{\cal F}_0|}.\tag{6.2}$$   При этом вся ячейка отображается на шар с центром в начале координат. Радиус шара, в который отображается граница $\partial {\cal V}_i$ ячейки ${\cal V}_i$, равен: $$R_i = \sqrt{2|{\cal F}_i-{\cal F}_0|},$$ где ${\cal F}_i$ - значение ${\cal F}({\bf x},t)$ на изоповерхности,  ограничивающей ячейку.
     Поскольку пустая ячейка не содержит экстремумов, то выбор ${\cal F}_0$ для нее в соотношениях (\ref{DefcFi}) может быть произвольным. В зависимости от выбора ${\cal F}_0$ для пустой ячейки он может отображаться в сферический слой на соответствующем ей листе ${\cal E}_i$. Но при специальном выборе значения ${\cal F}_0$, совпадающем со значением ${\cal F}={\cal F}_s$ на одной из ограничивающих ее особых изоповерхностей ${\cal S}_i$, ячейка отображается в шар. При этом вся изоповерхность ${\cal S}_i$ отображается в точку в начале координат листа.
     Непростые (сложные) базовые ячейки содержат в себе в качестве структурных элементов простые топологические ячейки, как это можно видеть на рис. 1. Базовые ячейки будут далее интерпретироваться как частицы материи, структурными элементами которых будут простые топологические ячейки. Заметим, что в использовании такого принципа для описания частиц материи можно усмотреть связь с идеями, которые были высказаны Клиффордом в работе [13].

7. Электрический заряд топологических ячеек

Принцип представления частиц материи в форме базовых топологических ячеек должен быть подтвержден доказательством того, что динамика таких объектов подчиняется законам квантовой теории и законам Ньютона в некотором усредненном смысле. Такие доказательства будут представлены в дальнейшем. Кроме динамических критериев необходимо еще указать то, как строение частиц связано с дискретным электрическим зарядом и другими зарядовыми числами такими, как барионное число. Общая идея таких построений излагалась ранее в [17,18,1,4,5]. Подробное изложение этого вопроса, связанного с анализом топологии трехмерных областей гиперповерхности ${\cal V}^3$,  имеет смысл приводить в отдельной работе, тем более, что не все детали вычислений зарядовых свойств частиц ясны на сегодняшний день. Здесь же будут воспроизведены общие принципы таких построений.
     Отправной точкой для дальнейших построений будет использование соотношений (\ref{EqMaxq}), (\ref{DefDq}) и (\ref{Defrhoq}) в качестве способа описания фундаментального электрического поля частиц, представленных в теории топологическими ячейками. Исходя из того, что для каждой простой топологической ячейки с номером $i$ маркерные поля принимают значения на отдельном листе ${\cal E}_i$, соотношения (\ref{EqMaxq}), (\ref{DefDq}) и (\ref{Defrhoq}) должны записываться для каждой топологической ячейки отдельно. В этом случае каждая простая ячейка в силу того, что уравнение (\ref{EqMaxq}) имеет в правой части  $\delta$-функцию в точке с координатами ${\bf x}_i(t)$, содержит в этой точке точечный заряд.  Знак этого заряда по своей  сути должен определяться тем, куда направлено поле индукции или напряженности электрического поля на границе простой ячейки - либо внутрь, либо наружу. Именно так ведет себя поле градиента $\nabla {\cal F}$, направление которого на границе простой ячейки определяется знаком $\varepsilon_i$ в формуле (\ref{DefcFi}).  С помощью (\ref{DefcFi}) мы можем определить, куда направлено поле ${\bf {\sf D}}_q$ на $\partial {\cal V}_i$. Дифференцируя (\ref{DefcFi}) по $x^{\alpha}$, находим: $$\frac{\partial {\cal F}}{\partial x^{\alpha}} = \varepsilon_i e^a\frac{\partial e^a}{\partial x^{\alpha}},~\alpha=1,2,3.$$ Отсюда находим: $$\label{EqDn}e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}\frac{\partial {\cal F}}{\partial x^{\alpha}} = \varepsilon_i |{\bf e}|^2.\tag{7.1}$$ Последнее соотношение показывает, что поле ${\bf {\sf K}}$ с компонентами: $$\label{DefK}{\sf K}^{\alpha} = |J|e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a},\tag{7.2}$$ являющееся общим элементом в выражениях как для поля ${\bf {\sf g}}$, так и для поля ${\bf {\sf D}}_q$, трансверсально изоповерхностям функции ${\cal F}$, т.е. направлено почти всюду наружу области, которую ограничивает изоповерхность. Действительно, если $\varepsilon_i=-1$, то внутри простой ячейки имеется максимум ${\cal F}$, и поле $\nabla {\cal F}$ направлено внутрь области. В этом случае на граничной изоповерхности $\partial {\cal V}_i$ имеем: $$e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}\frac{\partial {\cal F}}{\partial x^{\alpha}} = -|{\bf e}|^2 \le 0,$$ т.е. проекция поля ${\bf {\sf K}}$ на $\nabla {\cal F}$ всюду на этой границе, за исключением, критических седловых точек, отрицательна. Это и означает, что ${\bf {\sf K}}$ направлена наружу. Таким образом, для того, чтобы учесть в выражении для индукции знак заряда ячейки, необходимо поле ${\bf {\sf D}}_q$ заменить на каждой простой, но не пустой топологической ячейке на поле следующего вида: $$\label{DefD} {\bf {\sf D}} = \varepsilon_i {\bf {\sf D}}_q.\tag{7.3}$$ Аналогичное соотношение будет иметь место и для пустых ячеек, знак заряда в которых будет определяться направлением поля $\nabla {\cal F}$, но при этом должен быть согласован с зарядами в соседних простых ячейках. Этот вопрос играет очень важное значение и будет рассмотрен чуть позже. В этом случае на каждой простой топологической ячейке имеем первое уравнение Максвелла для дискретного точечного заряда: $$\label{EqMax1}{\rm div} {\bf {\sf D}} = 4 \pi \varepsilon_i \delta({\bf x}-{\bf x}_i).\tag{7.4}$$
     Получив описание индукции электрического поля на каждой отдельной простой ячейке, необходимо теперь объединить в его единое поле на всей гиперплоскости ${\cal P}^3$. Для этого необходимо дополнительно требовать выполнения для полей ${\bf {\sf D}}$ на границах ячеек выполнения граничных условий, стандартных для классической электродинамики. Этот вопрос обсуждался в [2]. Согласно классической электродинамике нормальная составляющая поля индукции должна испытывать скачок значений на границе ячеек с условными номерами 1 и 2, равный величине поверхностной плотности $\sigma$ заряда на границе: $${\bf {\sf D}}^{(2)}_n - {\bf {\sf D}}^{(1)}_n = 4 \pi \sigma.$$ Поскольку мы имеем дело с дискретными зарядами, то никакой поверхностной плотности заряда на границе ячеек не должно быть: $\sigma=0$.  В силу этого условие для ${\bf {\sf D}}$ должно превращаться в условие его непрерывности на границе ячеек: ${\bf {\sf D}}^{(2)}_n = {\bf {\sf D}}^{(1)}_n$. Это условие при использовании (\ref{DefDq}, (\ref{DefD} и учете (\ref{EqDn}, принимает такой вид: $$\label{DefBD}\left.\frac{|J|}{|{\bf e}|}\right|_{1}=\left.\frac{|J|}{|{\bf e}|}\right|_{2}.\tag{7.5}$$   Здесь учтено, что сама функция ${\cal F}$ и ее производные являются непрерывными всюду на ${\cal P}^3$. Смысл этих условий обсудим позже, когда более детально выясним смысл функции $|J|$ в динамике частиц.

8. Электрический заряд и эйлерова характеристика топологических ячеек

Для завершения описания поля электрической индукции ${\bf {\sf D}}$ и его ``источников'' необходимо указать общий способ вычисления заряда сложных топологических ячеек, которые, как уже упоминалось, будут в дальнейшем рассматриваться в качестве частиц материи. В физике величина заряда, содержащегося в некоторой области пространства ${\cal V}$,   связывается с потоком поля индукции через границу $\partial {\cal V}$ этой области: $$ q = \oint\limits_{\partial {\cal V}}{\bf {\sf D}}^{\alpha}d\sigma_{\alpha}.$$ Для поля ${\bf {\sf D}}$ выражение для заряда, содержащегося в области, ограниченной любой изоповерхностью фундаментального потенциала ${\cal F}$ внутри соответствующей ячейки ${\cal V}_i$, имеет следующий вид: $$\label{Defq} q_i = \oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\bf {\sf D}}^{\alpha}d\sigma_{\alpha}=       \oint\limits_{\partial {\cal V}_i}\frac{\varepsilon_i|J|}{|{\bf e}|^3}e^{a}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}d\sigma_{\alpha}=\varepsilon_i.\tag{8.1}$$ Это соотношение, согласно [24], представляет собой эйлерову характеристику области ${\cal V}_i$, для которой вычисляется заряд. Эйлерова характеристика [19,20,25,26,27] является топологическим инвариантом соответствующей области и не изменяется при гладких деформациях этой области [19,20,25,26,27]. Таким образом, электрический дискретный электрический заряд в данной теории [1][2] оказывается связанным с целочисленной величиной - эйлеровой характеристикой топологических ячеек: $$\label{DefqChi}q_i = \varepsilon_i \chi({\cal V}_i).\tag{8.2}$$ Знак заряда частицы в этом соотношении, как величины потока поля, определяется тем, как направлено поле ${\bf {\sf D}}$ на границе ячейки. Это направление определяется числом $\varepsilon_i$, которое в топологии называют индексом Пуанкаре-Хопфа [25,26,27]. Соотношение является важным элементом новой теории, которая позволяет построить зарядовую классификацию возможных структур топологических ячеек [1][4,5]. Наиболее существенным в соотношении (\ref{DefqChi}) является то, что заряд частицы оказывается свойством топологии самой материальной гиперповерхности ${\cal V}^3$. Это означает, что и электродинамика получает геометрическую и топологическую интерпретацию. Такая попытка предпринимались ранее Уилером и Мизнером в рамках ОТО [21,22,23].
     Для более ясного понимания того, как работают соотношения (\ref{Defq}) сделаем некоторые уточнения. Первым уточнением является то, что эйлерова характеристика $\chi({\cal V}_i)$ области ${\cal V}_i$ в трехмерном пространстве, ограниченной замкнутой поверхностью $\partial {\cal V}_i$, равна половине эйлеровой характеристики этой границы: $$\label{DefchiV} \chi({\cal V}_i) = \frac{1}{2}\chi(\partial{\cal V}_i).\tag{8.3}$$ Это означает, что электрический заряд частиц определяется топологией границы топологических ячеек, что упрощает классификацию возможных структур частиц, которая излагалась ранее в [1][2,5]. Основные идеи такой классификации будут представлены в данной работе далее.

    Второе уточнение касается вычисления эйлеровой характеристики и, следовательно, зарядов частиц, на основе структуры границы топологических ячеек им соответствующих. По определению базовые топологические ячейки ограничены особыми изоповерхностями, на которых лежат седловые точки функции ${\cal F}$. В силу этого, особые изоповерхности не являются всюду гладкими. Являясь изоповерхностями гладких функций, тем не менее они имеют геометрические особенности как раз в седловых точках ${\cal F}({\bf x},t)$. Поэтому вычисление эйлеровой характеристики таких изоповерхностей имеет свои особенности. Однако трудностей с вычислением зарядов частиц можно избежать, если ввести в рассмотрение для каждой особой изоповерхности две вспомогательные изоповерхности, построенные по следующему принципу. Предположим, что особой изоповерхности $\partial {\cal V}_i$ соответствует значение ${\cal F}_0$. Тогда под вспомогательными изоповерхностями ${\cal S}_{i+}$ и ${\cal S}_{i-}$ будем понимать изоповерхности, соответствующие значениям ${\cal F}$, равные соответственно ${\cal F}_0+\delta{\cal F}$ и ${\cal F}_0-\delta{\cal F}$ , где $\delta{\cal F}$ - бесконечно малая величина, знак которой определим таким образом, чтобы выполнялись условия: ${\cal V}_{i-}\in{\cal V}_{i}\in{\cal V}_{i+}$. Это означает, что ${\cal V}_{i-}$ с границей ${\cal S}_-$ лежит внутри области ${\cal V}_i$, ограниченной особой изоповерхностью. В свою очередь сама ${\cal V}_i$ находится внутри области ${\cal V}_{i+}$. Важным является то, что изоповерхности ${\cal V}_{i\pm}$ являются замкнутыми гладкими двумерными поверхностями, эйлерову характеристику которых можно вычислить без труда. С другой стороны для внешнего наблюдателя знак заряда частицы, которая представляет собой по определению базовую топологическую ячейку, будет потоком через внешнюю изоповерхность ${\cal V}_{i+}$, что упрощает расчет заряда частиц и их классификацию по структуре гладких изоповерхностей ${\cal V}_{i+}$. На рис. 2 представлен двумерный аналог структуры двух простых ячеек, ограниченных особой изоповерхностью, на которой лежит одна седловая точка $P_0$ функции ${\cal F}$. Такая структура аналогична ячейкам, которые порождаются двумя экстремумами $P_1$ И $P_2$ функции ${\cal F}$, изображенными на рис. 1. На рис. 2a изображены сами ячейки, расположенные на ${\cal P}^3$, а в правой - листы пространства маркеров, им соответствующие. Особая изоповерхность функции ${\cal F}$ и является внутренней границей вспомогательной ячейки ${\cal V}_{+}$, а внешней является изолиния ${\cal S}_{+}$. Кривые ${\cal S}_{1-}$ и ${\cal S}_{2-}$ диффеоморфны окружностям, а ячейки ${\cal V}_{1-}$ и ${\cal V}_{2-}$ - кругам. В пространстве маркеров изолиниям ${\cal S}_{1-}$ и ${\cal S}_{2-}$ соответствуют также окружности, что означает, что потоки ${\bf {\sf D}}$ через обе эти изолинии равны $+1$, если в них лежат минимумы ${\cal F}$, и равны $-1$, если максимумы. Эти экстремумы соответствуют точечным зарядам. Внешней границей ${\cal V}_+$ также является кривая, диффеоморфная окружности. Ей в пространстве маркеров соответствует также окружность. Следовательно, поток через эту изолинию равен $+1$ или $-1$. Поэтому при переходе через особою изоповерхность величина заряда уменьшается на 1. Поскольку поле ${\bf {\sf D}}$ в соответствии с условиями (\ref{DefBD}) является непрерывным на ${\cal S}_+$ за исключением седловой точки $P_0$ функции ${\cal F}$, то этой точке необходимо приписать заряд, обратный заряду ячеек ${\cal V}_{1-}$ и ${\cal V}_{2-}$. Это подтверждается тем, что  поле ${\bf {\sf D}}$ имеет кулоновскую асимптотику (см. [2]). Таким образом, в данной теории электрический заряд следует приписать всем критическим точкам фундаментального потенциала, включая и седловые ее точки.

Рис. 2. Соответствие двумерных аналогов топологических ячеек на ${\cal P}^3$ листам в пространстве маркеров ${\cal E}^3$. $P_0$ - седловая точка функции ${\cal F}$.

Двумерный аналог, рассмотренный на примере рис. 2, является полезным для иллюстрации того, почему седловым точкам ${\cal F}$ необходимо приписать электрический  заряд. Однако он не дает полного понимания того, как работает соотношение (\ref{DefqChi}), связывающее электрический заряд с эйлеровой характеристикой топологических ячеек.
    Для более ясного объяснения такой связи рассмотрим пример, представленный на рис. 3. На этом рисунке $a$ и $c$ представлено изображение в полупрозрачном виде базовой ячейки ${\cal V}_0$, ограниченной особой изоповерхностью с одной седловой точкой $P_0$ функции ${\cal F}$. Вспомогательная топологическая ячейка ${\cal V}_{-}$, лежащая внутри области ${\cal V}_0$, имеет границу $\partial {\cal V}_{-}$, диффеоморфную сфере. Эта область отображается в шар в пространстве маркеров, который изображен на рисунке $b$. На рис. $c$ изображена в реальном цвете та же самая базовая ячейка ${\cal V}_0$. В полупрозрачном виде изображена вспомогательная ячейка ${\cal V}_{+}$, имеющая границу в   виде тора. Образом этой ячейки при отображении ${\bf x}\to{\bf e}$ на пространстве маркеров ${\cal E}^3$ является сферический слой, т.е. часть шара, который изображен на рис. $d$. Суммарный поток через границу ячейки ${\cal V}_{-}$ равен $+1$ или $-1$ в зависимости от типа экстремума ${\cal F}$, лежащего в ${\cal V}_{-}$. Поскольку граница ${\cal V}_{+}$ диффеоморфна тору, которая имеет своим образом на ${\cal E}^3$ сферу, то поток через $\partial {\cal V}_{+}$ будет равен эйлеровой характеристике тора, которая, как хорошо известно, равна нулю [19,20,25,26,27]. Это подтверждает \textbf{общее правило: седловым точкам ${\cal F}$, лежащим на особых изоповерхностях, следует приписать заряд, обратный заряду в ${\cal V}_{-}$, а общий заряд частицы, как базовой топологической ячейки, следует вычислять как эйлерову характеристику вспомогательной области ${\cal V}_{+}$ (\ref{DefqChi} или половине эйлеровой характеристики ее границы (\ref{DefchiV}}.

Рис. 3. Соответствие вспомогательных изоповерхностей ${\cal V}_-$ и ${\cal V}_+$ особой изоповерхности ${\cal V}_0$ с одной седловой точкой $P_0$ функции ${\cal F}$.

9. Основы зарядовой классификации частиц

 Следуя общему правилу вычисления заряда частиц, отождествляемых с базовыми топологическими ячейками, можно построить простую зарядовую классификацию типов частиц по их эйлеровой характеристике внешней границы вспомогательной ячейки ${\cal V}_{+}$ [1][2,3,4,5]. Поскольку в качестве постулата в данной работе принято считать, что функция ${\cal F}({\bf x},t)$ является гладкой функций, то почти все ее неособые изоповерхности представляют собой двумерные замкнутые ориентируемые многообразия. Классификация таких изоповерхностей сводится к теореме [19,20,25,26,27], согласно которой любая такая изоповерхность ${\cal S}_g$ диффеоморфна сфере с $g$ ручками. Эйлерова характеристика всех таких изоповерхностей равна: $$\label{DefChig}\chi({\cal S}_g) = 2(1-g).\tag{9.1}$$ Эйлерова характеристика сферы $\chi({\cal S}_0)=2$, тора $\chi({\cal S}_1)=0$ и т.д. В соответствии с (\ref{DefchiV} эйлеровы характеристики областей ${\cal V}_g$, которые имеют границей ${\cal S}_g=\partial{\cal V}_g$, и, следовательно, заряды частиц, равны соответственно: $$\label{DefChiQg}q = \varepsilon \chi({\cal V}_g) = \varepsilon \frac{1}{2}\chi({\cal S}_g) = 1-g.\tag{9.2}$$ Последовательность таких частиц изображена на рис. 4.

Рис. 4. Структура топологических ячеек в зависимости от величины эйлеровой характеристики

9.1. Интерпретация лептонов

 Наиболее простой интерпретацией частиц, заряды которых вычисляются по формуле (\ref{DefChiQg}) и изображены на рис. 4, является интерпретация их как лептонов в соответствии с Таб. 1.

Таб. 1. Классификация лептонов.

$g$	0	1	2	3
$\chi(\partial{\cal V}_{+})$	2	0	-2	-4
$q$	$\pm 1$	0	$\mp 1$	$\mp 2$
название	$e^{\pm}$	$\nu$	$\mu^{\mp}$	$\lambda^{\mp 2}$

Косвенным подтверждением такой интерпретации является распад мюона, топологическая реконструкция которого представлена на рис. 5. Мюону соответствует топологическая ячейка с $g=2$. Основной канал распада мюона - это распад на два нейтрино и электрон, что и соответствует рис. 5. Частица, обозначенная в таблице под именем $\lambda^{\mp 2}$, является гипотетическим лептоном с зарядом $\mp 2$, распад которого, согласно топологической реконструкции, должен происходить на мюон, электрон и нейтрино, либо на два электрона и три нейтрино.

Рис. 5. Топологическая реконструкция распада мюона: $\mu^{\pm}\to e^{\pm}+\nu+\widetilde{\nu}$

Классификация, соответствующая  Таб. 1, очевидно не ограничивает всех возможных структур топологических ячеек. Простейшим дополнением  является включение в нее структур, вспомогательная изоповерхность которых фиксирована, но изменяется число седловых точек ${\cal F}$, которые лежат на особой изоповерхности. Это показано на рис. 6 на примере тороидальной поверхности ${\cal V}_{+}$, изображенной в полупрозрачном цвете с одной, двумя и тремя седловыми точками $P_1,P_2,P_3$. Поскольку заряд таких ячеек остается нулевым, то их можно пытаться сопоставлять различным типам нейтрино, которым в Таб. 1 и на рис. 4 соответствует тор с $g=1$.

Рис. 6. Возможные структуры различных типов нейтрино.

  9.2. Интерпретация структуры нуклонов

  Кроме этих простых типов ячеек в общую классификацию необходимо включить и другие возможные топологические структуры. К таким структурам в первую очередь относятся топологические ручки Уилера-Мизнера [21,22,23], с помощью которых авторы этой идеи предлагали дать объяснение электрическому заряду в рамках ОТО, который бы не имел стандартных для электродинамики энергетических расходимостей на точечном заряде. Топологические ручки Уилера-Мизнера могут являться элементом топологии гладких трехмерных гиперповерхностей [27] и поэтому должны быть включены в общую классификацию частиц. Как было показано в [5], наиболее естественным способом включить ручки Уилера в общую схему, это установить связь их числа с барионным зарядом.
      На рис. 7 представлены двумерные аналоги ручек Уилера. Ручки ориентированы по разные стороны от ${\cal V}^3$. Каждой ручке, исходя из простых соображений, следует приписать барионный заряд $b=+1$ или $b=-1$ в зависимости от того, с какой стороны ${\cal V}^3$ она ``вклеена'' в эту гиперповерхность.
 

Рис. 7. Двумерный аналог ручек Уилера с интерпретацией барионного заряда

Как уже обсуждалось, электрический заряд таких структур будет целиком определяться внешней вспомогательной изоповерхностью ${\cal V}_{+}$ функции. Эта внешняя изоповерхность может быть и сферой, и тором или другой гладкой изоповерхностью. Для наглядности на рис. 8 представлена ручка Уилера с некоторыми элементами внутренней структуры, определяющей ее зарядовые свойства. В трехмерном случае в структуре ручки будут иметься экстремум и особые изоповерхности ${\cal V}_1$ и ${\cal V}_2$. Каждая из ${\cal V}_1$ и ${\cal V}_2$ есть пара ``склеенных'' между собой в одной точке сфер. Внешняя изоповерхность, аналогом которой является ${\cal V}_+$, может быть сферой или тором. В этих случаях вполне естественно предполагать, что ручка с ${\cal V}^+$ в форме сферы является моделью протона $p^{\pm}$, а с ${\cal V}^+$ в форме тора - моделью нейтрона с нулевым зарядом. Адекватность такой интерпретации можно усмотреть в соответствующей ей топологической реконструкции распада свободного нейтрона, представленной на рис. 9. На этом рисунке представлены нейтрон и протон в форме, которую должен был бы видеть внешний наблюдатель. Внутри полупрозрачных внешних изоповерхностей в форме тора (нейтрон) и сферы (протон) можно видеть два шарообразных объекта, которые условно изображают горловины ручек Уилера. Распад свободного нейтрона происходит по схеме слабого распада, в результате чего появляются протон (антипротон), электрон (позитрон) и нейтрино. Эта реконструкция, как и реконструкция распада мюона (рис. 5), позволяет предполагать, что с точки зрения геометрии пространства слабый распад представляет собой топологическую перестройку внешней изоповерхности частицы.
 

Рис. 8. Структурные элементы ручки Уилера

Рис. 9. Интерпретация нуклонов вместе с топологической реконструкцией распада нейтрона

В данной работе не будем останавливаться на развитии общей схемы интерпретации всех типов частиц, включая мезоны и другие типы барионов, а также вопросов, связанных с унитарными симметриями, которые являются основой современного понимания структуры элементарных частиц.  Частично, описание некоторых мезонов и ядер простых атомов, которые можно установить опираясь исключительно на зарядовых их свойства, приведены в [5].  Здесь же лишь отметим, что заряд практически всех типов частиц  можно описать общей формулой, которая следует из общей формулы вычисления эйлеровой характеристики через числа Бетти $p_i,~i=0,\ldots,3$ [24,19,20,25,26,27]: $$\label{DefChip}\chi({\cal V}) = p_0-p_1+p_2-p_3.\tag{9.3}$$ Числа Бетти трехмерных многообразий с краем равны соответственно [24,19,20,27]: $$p_0 = 1,~p_1 = g+b,~p_2=1+b,~p_3=1,$$ где $g$ - число ручек в структуре границы ячейки (определяет заряд), а $b$ - число ручек Уилера, т.е. барионное число частицы. В результате соотношение (\ref{DefChip}) можно интерпретировать как формулу Гелл-Манна- Нисидзимы [28]: $$Q = \frac{b+S}{2}+J_3,$$ где $Q$ - заряд частиц, $S$ - странность, $J_3$ - проекция изоспина.    Числа $S$ и $J_3$ можно явно вычислить из значений чисел Бетти [5]. Важный во всех отношениях вопрос топологической классификации частиц требует использовать в интерпретации не только зарядовые свойства частиц, но и вычисление их массы и спина. Такие вычисления имеет смысл проводить в отдельной работе. Отметим лишь, что топологическая интерпретация формулы Гелл-Манна - Нисидзимы указывает на то, что в данной теории нет необходимости вводить понятие кварков, как частиц с дробным электрическим зарядом, которые используют в хромодинамике для объяснения существования унитарных симметрий в структуре частиц.

10. Фундаментальное электромагнитное и обобщенное гравитационное поля

Рассмотрим теперь, как в данной теории появляется фундаментальное магнитное поле и как оно связано с маркерными полями. Для этого рассмотрим, как изменяется со временем поле ${\bf {\sf K}}$  (\ref{DefK}) в силу переноса маркеров в соответствии с (\ref{Eqea}). Все необходимые построения были подробно изложены в [7]. Поэтому здесь приведем их результат, делая ссылку на детали этих построений, представленные в Приложении 1.
      Исходная задача, которую необходимо решить далее, состоит в вычислении производной по времени от поля ${\bf {\sf K}}$. Для этого представим это поле с использованием тождеств (\ref{Eqv11}) в следующем виде: $$\label{DefbK} {\bf {\sf K}}=\varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]e^{a}.\tag{10.1}$$ Здесь $\varepsilon_{abc}$ - антисимметричный символ Леви-Чивита. Такая форма представления для ${\bf {\sf K}}$ следует из покомпонентной записи обратной матрицы Якоби отображения ${\bf e}\to{\bf x}$.  Вычислим теперь производную по времени от поля ${\bf {\sf K}}$, используя (\ref{DefbK}): $$\label{EqGt1}\frac{\partial {\bf {\sf K}}}{\partial t} = \varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]\frac{\partial e^{a}}{\partial t}+   2\varepsilon_{abc}\left[\nabla \frac{\partial e^{b}}{\partial t}\times\nabla e^{c}\right]e^a .\tag{10.2}$$ Рассмотрим два слагаемых в правой части последнего соотношения по отдельности. Для их вычисления воспользуемся тождествами, приведенными в Приложении 1 и уравнением переноса маркерных полей (\ref{Eqea}). Тогда имеем: $$\label{EqC1} \varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]^{\alpha}\frac{\partial e^{a}}{\partial t}=-\varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]\frac{\partial e^a}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\beta}=-|J|\delta^{\alpha}_{\beta}{\sf V}^{\beta}=-|J|{\sf V}^{\alpha}.\tag{10.3}$$ Здесь использовалось тождество (\ref{Eqv12}). В результате для второго слагаемого в правой части (\ref{EqGt1}) находим: $$\label{EqC2}\varepsilon_{abc}\Big[\nabla \frac{\partial e^{b}}{\partial t}\times\nabla e^{c}\Big]e^a=\tag{10.4}$$ $$=\varepsilon_{abc}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}\Big[e^{a}\frac{\partial e^{b}}{\partial t}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\gamma}}\Big]-\varepsilon_{abc}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\frac{\partial e^{a}}{\partial x^{\beta}}\frac{\partial e^{b}}{\partial t}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\gamma}}={\rm rot} {\bf {\sf Z}} - |J|{\bf {\sf V}}.$$
    Поле ${\bf {\sf Z}}$ имеет следующие компоненты: $$\label{DefZ}{\sf Z}_{\gamma}= \varepsilon_{abc} e^{a}\frac{\partial e^{b}}{\partial t}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\gamma}}=-\varepsilon_{abc} e^{a}{\sf V}^{\beta}\frac{\partial e^{b}}{\partial x^{\beta}}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\gamma}}=-{\sf V}^{\beta}\lambda_{\beta\gamma}.\tag{10.5}$$ Используя теперь тождества (\ref{Eqv13}) и (\ref{Eqv14}), приходим к следующим соотношениям: $$\label{DefLG}\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}{\sf K}^{\gamma}\varepsilon_{\gamma\mu\nu}.\tag{10.6}$$  Подставляя это соотношение в (\ref{DefZ}), окончательно получаем: $$\label{EqZ}{\sf Z}_{\gamma} = -{\sf V}^{\beta}\lambda_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}{\sf V}^{\beta}{\sf K}^{\mu}\varepsilon_{\mu\beta\gamma},\tag{10.7}$$ или в векторной форме: $$\label{DefZv}{\bf {\sf Z}} = -\frac{1}{2}[{\bf {\sf K}}\times{\bf {\sf V}}].\tag{10.8}$$ Подставляя полученные соотношения (\ref{EqC1}), (\ref{EqC2}) и (\ref{DefZv}) в (\ref{EqGt1}), окончательно находим: $$\label{EqKt}\frac{\partial {\bf {\sf K}}}{\partial t}=-{\rm rot}\Big([{\bf {\sf K}}\times{\bf {\sf V}}]\Big)-3|J|{\bf {\sf V}}.\tag{10.9}$$ Это уравнение и есть уравнение индукции поля ${\bf {\sf K}}$.
     Воспользуемся теперь тем, что поля ${\bf {\sf D}}$ и ${\bf {\sf g}}$ отличаются от ${\bf {\sf K}}$ только функциональными множителями: $${\bf {\sf D}} = \frac{\varepsilon}{|{\bf e}|^3}{\bf {\sf K}},~~~{\bf {\sf g}} = \frac{4\pi G m_0}{3}{\cal M}({\bf e}){\bf {\sf K}}.$$ Соответственно, уравнения индукции для этих полей будут иметь такой вид [7]: $$\label{EqIndD}     \frac{\partial {\bf {\sf D}}}{\partial t}=-{\rm rot}\Big([{\bf {\sf D}}\times{\bf {\sf V}}]\Big)-4\pi\rho_e{\bf {\sf V}},\tag{10.10}$$ $$\label{EqIndg}\frac{\partial {\bf {\sf g}}}{\partial t}=-{\rm rot}\Big([{\bf {\sf g}}\times{\bf {\sf V}}]\Big)-4\pi G\rho_m{\cal R}{\bf {\sf V}},\tag{10.11}$$ где $\rho_m=m_0{\cal M}({\bf e})|J|$ - плотность массы пространства, функция ${\cal R}$ определена соотношением (\ref{DefR}), $$\rho_e = \sum\limits_{k=0}^N \varepsilon_k \delta({\bf x}-{\bf x}_k(t)).$$ Сумма в последнем соотношении берется по всем критическим точкам фундаментального потенциала ${\cal F}$, включая и седловые точки этой функции. Сравнивая (\ref{EqIndD}) с соответствующим четвертым уравнением теории Максвелла, устанавливаем, что в данной теории напряженность фундаментального магнитного поля ${\bf {\sf H}}$ должна вычисляться по формуле: $$\label{DefH} {\bf {\sf H}} = \frac{1}{c}[{\bf {\sf D}}\times{\bf {\sf V}}]+\nabla \Phi_H,$$ где $c$ - скорость света, а $\Phi_H$ - скалярный потенциал магнитного поля, который должен удовлетворять уравнению отсутствия магнитных зарядов (второму уравнению Максвелла): $${\rm div} {\bf {\sf H}} = \frac{1}{c}{\rm div} [{\bf {\sf D}}\times{\bf {\sf V}}]+\Delta \Phi_H=0.$$ Соответственно, плотность электрического тока будет вычисляться по формуле: $${\bf {\sf j}} = \frac{4\pi}{c}\rho_e{\bf {\sf V}},$$ т.е. совпадать с плотностью тока точечных зарядов. При этом автоматически выполняется закон сохранения электрического заряда: $$\frac{\partial}{\partial t}\rho_e+{\rm div}\ {\bf {\sf j}} =0.$$
     Уравнение индукции гравитационного поля (\ref{EqIndg}) отсутствует в классической теории гравитации, хотя формальное его существование обсуждалось в [12]. Отсутствие необходимости искать такое поле в классической теории, несмотря на очевидную аналогичность теории гравитации и электромагнетизма, вытекает из того, что в классической небесной механике и астрофизике с достижимой точностью измерений не имело смысла включать в рассмотрение какие-либо дополнительные поля. Ситуация изменилась лишь в последние десятилетия, когда точность измерений достигла такого уровня, что с помощью атомных часов и радаров удается провести измерения эффектов, которые обычно относят к эффектам СТО и ОТО. В ОТО гравитационное поле не сводится к одному градиентному полю напряженности (ускорению свободного падения) и описывается очень сложными уравнениями Эйнштейна для шести независимых компонентов метрического тензора пространства-времени. В рассматриваемой здесь теории согласно (\ref{EqIndg}) необходимо вводить в рассмотрение поле ${\bf {\sf Z}}$, которое можно назвать, как и в работе [12], гравимагнитным полем, и которое должно иметь такой вид: $$\label{DefZG}{\bf {\sf Z}} = \frac{1}{c}[{\bf {\sf g}}\times{\bf {\sf V}}] + \nabla \Phi_G,\tag{10.12}$$ где $\Phi_G$ - потенциал, играющий ту же роль, что в $\Phi_H$ для магнитного поля. Поле ${\bf {\sf j}}_G$: $${\bf {\sf j}}_G = \rho_m{\cal R} {\bf {\sf V}},$$    следует считать плотностью тока массы. Множитель $c^{-1}$ в выражении (\ref{DefZG} введен по аналогии с (\ref{DefH}), что отражает относительную малость влияния гравимагнитного поля на динамику частиц материи, как и магнитного поля в теории Максвелла. В теории Максвелла множитель $c^{-1}$ попадает в уравнения динамики заряженных частиц, движущихся со скоростью ${\bf v}$ в выражении для силы Лоренца: $$\label{DefFL}{\bf F}_{L} = -\frac{q}{c}[{\bf H}\times{\bf v}].\tag{10.13}$$ Сила Лоренца есть выражение экспериментальных данных о движении заряженных частиц в магнитном поле. Нет пока каких-либо серьезных оснований считать, что действие гравимагнитного поля на частицы должно сильно отличаться от действия силы Лоренца. Аналогичность уравнений индукции для ${\bf {\sf D}}$ и ${\bf {\sf g}}$ наводит на эту мысль. В результате следует предположить, что в реальности гравимагнитная сила действует на частицы по аналогичному правилу: $$\label{DefFLG}{\bf F}_{G} = -\frac{m}{c}[{\bf {\sf Z}}\times{\bf v}].\tag{10.14}$$ Множитель $c^{-1}$, по всей видимости, и определяет малость величины эффектов, которые обнаруживаются в экспериментах последние десятилетия, и приписываются ОТО. Для подтверждения этой гипотезы необходимо провести расчеты динамики тел в небесной механике с учетом (\ref{DefFLG}) и подтвердить или опровергнуть ее.

11. Энергия поля и масса

Для завершения описания динамики фундаментальных полей, которые связаны с точками гиперповерхности ${\cal V}^3$ пронумерованными маркерными полями, необходимо ввести в теорию энергию поля. Заметим, что плотность массы гиперповерхности ${\cal V}^3$ в проекции на ${\cal P}^3$ была введена соотношениями (\ref{DefrhomG}). Логично предполагать, что энергия поля должна быть сохраняющейся величиной, а ее плотность должна некоторым образом повторять хотя бы формально общий вид плотности энергии электромагнитного поля.
     Стандартный вид плотности электрического поля в электродинамике Максвелла есть с точностью до множителя скалярное произведение векторов индукции ${\bf D}$ и напряженности ${\bf E}$ электрического поля: $W=({\bf E},{\bf D})/4\pi$. В рассматриваемой теории напряженность фундаментального электромагнитного поля пока отсутствует.
      Введем напряженность ${\bf {\sf E}}$ фундаментального поля так, чтобы энергия этого поля, вычисляемая по формуле: $$\label{DefW}{\cal W} = \frac{1}{4\pi}\int\limits_{{\cal V}} ({\bf {\sf D}},{\bf {\sf E}}) dV,\tag{11.1}$$ являлась сохраняющейся величиной. Для этого достаточно полагать [1][2,3], что напряженность ${\bf {\sf E}}$ имеет следующий общий вид: $$\label{DefE}{\bf {\sf E}} = Q({\bf e})\nabla {\cal F},\tag{11.2}$$ где $Q({\bf e})$ - некоторая функция маркеров. В этом случае на каждой простой топологической ячейке ${\cal V}_i$, учитывая (\ref{EqDn}), имеем: $$({\bf {\sf D}},{\bf {\sf E}}) = \frac{|J|Q({\bf e})\varepsilon_i}{|{\bf e}|^3}e^a\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}\frac{\partial {\cal F}}{\partial x^{\alpha}} =\frac{|J|Q({\bf e})}{|{\bf e}|}.\tag{11.3}$$ Из этого соотношения следует, что если выбрать $Q({\bf e})$ следующим образом: $$\label{DefQE}Q({\bf e}) = 4\pi k {\cal M}({\bf e}) |{\bf e}|,\tag{11.4}$$ то плотность энергии ${\cal W}$ будет иметь такой вид: $$\label{DefrhoE}   \rho_W =4\pi k{\cal M}({\bf e}) |J|,\tag{11.5}$$ а энергия поля будет связана с массой соотношением: $$\label{DefWM}{\cal W} = k \int\limits_{{\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|dV .\tag{11.6}$$ Если теперь выбрать так: $k=m_0 c^2$, где $m_0$ - фундаментальная постоянная массы, а $c$ - скорость света, то последнее соотношение превращается в формулу Эйнштейна, связывающую массу и энергию материи: $${\cal W} = Mc^2.$$
      В результате одно из наиболее важных соотношений СТО возникает в данной теории без необходимости вводить постулаты этой теории. Следует отметить, что любой выбор $Q({\bf e})$ будет приводить к тому, что соответствующая величина ${\cal W}$ будет интегралом движения, поскольку ${\cal M}({\bf e})|J|$ есть сохраняющаяся плотность. Поэтому выбор (\ref{DefQE} должен быть выделен особым образом среди всех других вариантов выбора $Q({\bf e})$. Действительно, подставляя (\ref{DefQE}) в (\ref{DefE}), находим: $${\bf {\sf E}} = 4\pi {\cal M}({\bf e})|{\bf e}|\nabla {\cal F} = \varepsilon_i{\cal M}({\bf e})\nabla \Phi_E,$$ где $$\Phi_E = \frac{4\pi}{3}|{\bf e}|^3.$$ Отсюда следует, что $\Phi_E$ есть объем шара на декартовой карте пространства маркеров с центром в начале координат и радиусом $|{\bf e}|=R=\sqrt{2({\cal F}-{\cal F}_i)}$, т.е. собственно число маркеров внутри соответствующей $R({\bf x},t)$ особой изоповерхности ${\cal F}$. Следует отметить, что простой связи между полем индукции ${\bf {\sf D}}$ и ${\bf {\sf E}}$  в данной теории нет, что указывает на анизотропию электрических свойств ``искривленной'' гиперповерхности ${\cal V}^3$ в интерпретации классической электродинамики непрерывных сред.

12. Динамика частиц и уравнения Ньютона

Получив общее описание фундаментальных гравитационных и электромагнитных полей как свойств гиперповерхности ${\cal V}^3$, необходимо теперь описать динамику частиц, которые в данной теории рассматриваются как протяженные (нелокальные) объекты, но с точечными особенностями, совпадающими с критическими точками фундаментального потенциала ${\cal F}({\bf x},t)$. Такая структура частиц в данной теории позволяет указать способ интерпретации двойственности квантовых частиц. В квантовой теории частицы в одних условиях ведут себя как нелокальные объекты - волны, а в других - как точечные объекты. Эта двойственность, или даже противоречие, заложены в основные постулаты квантовой теории. В частности, согласно статистическому постулату Борна [10,29], плотность вероятности $\rho_p$ найти частицу в точке с координатами ${\bf x}$ в момент времени $t$ равна модулю волновой функции $\Psi({\bf x},t)$: $$\label{StatPB}\rho_p = |\Psi({\bf x},t)|^2.\tag{12.1}$$ Таким образом, в квантовую теорию вносится представление о точечности частиц, а с другой стороны, все описание строится на основе нелокальных математических структур, связанных с функцией $\Psi({\bf x},t)$, которая описывает волновые свойства частиц. Как хорошо известно (см., например, [10]), это приводит к невозможности получить рациональную интерпретацию всей совокупности законов квантовой теории, которая при этом дает замечательные результаты при вычислении множества эффектов структуры материи на уровне атомов и молекул.
     Для построения новой интерпретации квантовой теории в рамках предлагаемой новой теории имеется возможность подойти к решению этой задачи с нескольких сторон. Одна из идей состоит в построении динамики критических точек функции ${\cal F}({\bf x},t)$ при известной динамике самой ${\cal F}$. Такой подход возможен и дает некоторую полезную информацию о динамике частиц, но с трудом может быть связан с параметрами движения частиц, которые измеряются в эксперименте. В реальности сами экстремумы мы прямым образом не наблюдаем. Подход, который может быть сопоставлен подходу современной квантовой теории, состоит в построении усредненной динамики частиц как протяженных объектов. Для реализации такой идеи необходимо в первую очередь найти подходящую замену статистическому постулату Борна (\ref{StatPB}).
     Для получения усредненных характеристик частиц как протяженных объектов в нашем распоряжении есть как минимум одна сохраняющаяся плотность $|J|$. Поэтому для каждой частицы, которой соответствует некоторая ячейка ${\cal V}_i$, ограниченная особой замкнутой изоповерхностью, с помощью $\rho={\cal M}({\bf e})|J|$ можно приписать средние координаты ${\bf X}_i(t)$ [1][4,5], следуя следующему правилу: $$\label{DefX} X_i^{\alpha} = \frac{m_0}{M}\int\limits_{{\cal V}_i}x^{\alpha}\rho d{\cal V},\tag{12.2}$$   где $$M_i = m_0\int\limits_{{\cal V}_i}\rho d{\cal V}$$ - нормировочный коэффициент, совпадающий с массой частиц, если частицам приписать массу всей совокупности точек ${\cal V}_i$, полагая плотностью массы $\rho_m = m_0{\cal M}({\bf e})|J|$. Дифференцируя соотношения (\ref{DefX} по $t$, приходим к следующим соотношениям: $$V_i^{\alpha} = \frac{dX^{\alpha}}{dt} = \frac{m_0}{M_i}\int\limits_{{\cal V}_i}x^{\alpha}\frac{\partial |J|}{\partial t}d{\cal V} + \oint\limits_{\partial {\cal V}_i}|J|x^{\alpha}v^{\beta}d\sigma_{{\bf e}ta}=$$ $$ = \frac{m_0}{M_i}\int\limits_{{\cal V}_i}{\sf V}^{\alpha}|J|d{\cal V}+\frac{m_0}{M_i}\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}|J|x^{\alpha}(v^{\beta}-{\sf V}^{\beta})d\sigma_{\beta}.$$ В этом соотношении $v^{\beta}$ - компоненты скорости движения точек изоповерхности $\partial{\cal V}_i$, при ее перемещении и изменении ее геометрии. Детали вычислений приведены в Приложении 2. Полагая, что точки изоповерхности $\partial {\cal V}_i$ переносятся полем ${\bf {\sf V}}$, автоматически получаем, что на этой границе $v^{\alpha} ={\sf V}^{\alpha}$. В результате окончательно находим: $$\label{DefV}V_i^{\alpha} =\frac{dX_i^{\alpha}}{dt} = \frac{m_0}{M_i}\int\limits_{{\cal V}_i}{\sf V}^{\alpha}|J|d{\cal V},\tag{12.3}$$ т.е. усредненная скорость движения частицы как целого, связанная с полем переноса ${\bf {\sf V}}$, равна среднему по объему частицы значению этого поля. Аналогично для среднего ускорения частицы, находим (см. Приложение 2): $$\label{DefA}A_i^{\alpha} = \frac{d^2X_i^{\alpha}}{dt^2} = \frac{m_0}{M_i}\int\limits_{{\cal V}_i}\left(\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha}+{\sf V}^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\alpha}\right)|J|d{\cal V}.\tag{12.4}$$
     Величина, стоящая под знаком интеграла справа в круглых скобках, есть локальное ускорение Эйлера жидкой среды с полем скорости ${\bf {\sf V}}$. Поэтому вектор ${\bf A}_i$ с компонентами, определенными соотношением (\ref{DefA}), есть среднее ускорение частицы.  Следовательно,  соотношение (\ref{DefA}) теперь формально можно рассматривать как уравнение Ньютона динамики частиц, записав его в следующей форме: $$\label{EqNewt} M_i \frac{d^2X_i^{\alpha}}{dt^2} = {\sf F}_i^{\alpha},\tag{12.5}$$ где ${\sf F}_i^{\alpha}$ компоненты вектора ${\bf {\sf F}}$ суммарной силы, приложенной к частице: $$\label{DefFN}    {\sf F}_i^{\alpha} = m_0\int\limits_{{\cal V}_i}\left(\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha}+{\sf V}^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\alpha}\right)|J|d{\cal V}.\tag{12.6}$$   Важным является то, что инертная масса $M_i$ в этом соотношении вычисляется как интеграл по объему частицы от плотности массы точек гиперповерхности ${\cal V}^3$, находящихся в ней. Но именно эта масса фигурирует в уравнениях динамики фундаментального гравитационного поля (\ref{EqPsG}) и (\ref{EqIndg}). Таким образом, в данной теории нет необходимости вводить специальный постулат эквивалентности гравитационных сил и сил инерции Эйнштейна. Равенство инертной и гравитационной масс будет выполняться в данной теории автоматически, если сила тяготения в усредненных уравнениях будет фигурировать в уравнениях в форме усредненного ускорения свободного падения $\overline{{\bf {\sf g}}}$ для фундаментального поля тяготения с напряженностью ${\bf {\sf g}}$ (\ref{DefgG}).

13. Силы, действующие на частицу

Для того, чтобы (\ref{EqNewt}) можно было бы сопоставить уравнениям динамики частиц в классической физике, необходимо показать, что сила ${\bf {\sf F}}$ принимает форму стандартных сил, таких как гравитационные и электромагнитные. Для этого необходимо (\ref{DefFN}) представить в подходящем для решения такой задачи виде [1][3]. Представим формально поле переноса в виде совокупности двух полей:    $$\label{DefVA}{\bf {\sf V}} = \nabla \chi - \gamma_0 {\bf {\sf A}},\tag{13.1}$$ где $\chi({\bf x},t)$ и ${\bf {\sf A}}({\bf x},t)$ - некоторые вспомогательные поля, скалярное -$\chi({\bf x},t)$ и векторное - ${\bf {\sf A}}({\bf x},t)$. Постоянная $\gamma_0$ введена для придания конечному результату знакомую из электродинамики форму. Такое разбиение не накладывает на ${\bf {\sf V}}$ никаких ограничений. В этом случае, используя стандартные формулы векторного анализа (см. Приложение 2), используемые в гидродинамике, находим:   $$\label{DefFF}\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha}+{\sf V}^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\alpha}=-\gamma_0\left(\frac{\partial}{\partial t}{\sf A}^{\alpha}+\frac{\partial \Phi}{\partial x^{\alpha}}\right)-\gamma_0[{\rm rot} {\bf {\sf A}}\times {\bf {\sf V}}]^{\alpha} + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} U.\tag{13.2}$$ Здесь: $$\label{DefU} U= \frac{1}{2}{\bf {\sf V}}^2+\frac{\partial}{\partial t}\chi+\gamma_0 \Phi,$$ а скалярное поле $\Phi$ введено для удобства дальнейшей интерпретации соотношений (\ref{DefFF}). Смысл разбиения (\ref{DefVA}) становится понятным, если интерпретировать ${\bf {\sf A}}$ как векторный потенциал классического электромагнитного поля, теперь уже не фундаментального. В этом случае скалярное поле $\Phi$ следует рассматривать как потенциал электрического поля, а поля $E^{\alpha}$ и $H^{\alpha}$, определенные следующим образом: $$\label{DefEH} E^{\alpha} = -\gamma_0\left(\frac{\partial}{\partial t}{\sf A}^{\alpha}+\frac{\partial \Phi}{\partial x^{\alpha}}\right),~~H^{\alpha} = [{\rm rot} {\bf {\sf A}}]^{\alpha},\tag{13.3}$$ как напряженности электрического и магнитного полей классической электродинамики. При такой интерпретации   $\chi({\bf x},t)$ следует рассматривать как функцию действия классической механики, а (\ref{DefU}), записанное в таком виде: $$\label{EqJS}\frac{\partial}{\partial t}\chi + \frac{1}{2}\left(\nabla\chi-\gamma_0{\bf {\sf A}}\right)^2+\gamma_0\Phi-U=0,\tag{13.4}$$ как уравнение Якоби классической механики относительно действия $\chi({\bf x},t)$ для частицы с единичной массой и зарядом, движущейся в магнитном поле с векторным потенциалом ${\bf {\sf A}}$ и в электрическом поле c потенциалом $\Phi$. Для функции $U({\bf x},t)$ остается единственная роль потенциала классического поля тяготения.
     Теперь можно получить явный вид усредненной силы, действующей на частицу. Для этого введем дополнительно следующее представление классических полей: $${\bf {\sf V}} = {\bf V} + {\bf {\sf V}}', \ \ {\bf {\sf A}} = \overline{{\bf {\sf A}}} + {\bf {\sf A}}',\ \ {\bf H} = \overline{{\bf H}}+{\bf H}', \ \ {\bf E} = \overline{{\bf E}}+{\bf E}',\ \ U = \overline{U} + U'$$ Здесь $\overline{{\bf {\sf A}}},\ \overline{{\bf E}},\ \overline{{\bf H}}$ и $\overline{U}$ поля, полученные усреднением по ${\cal V}_i$ с плотностью $\rho={\cal M}({\bf e})|J|$, а поля со штрихами - отклонения полей от среднего их значения в каждой точке пространства. Подставляя поля в такой форме в уравнения (\ref{DefFN}), получаем следующие соотношения:  $$\label{EqFS}{\sf F}_i^{\alpha} = \overline{E}^{\alpha} - \gamma_0 [{\bf H}\times{\bf V}]^{\alpha} + \nabla_X \overline{U} + {\sf F}^{\alpha}_q,\tag{13.5}$$ где $\nabla_X$ - градиент по средним координатам $X^{\alpha}$, и $${\sf F}^{\alpha}_q = -\gamma_0 \int\limits_{{\cal V}_i}[{\bf H}'\times{\bf {\sf V}}']d{\cal V},$$ поправка к средним силам за счет корреляции отклонений полей от среднего. В такой записи: $$\label{EqNewtEH} M_i\frac{d^2X_i^{\alpha}}{dt^2} = \overline{E}^{\alpha} - \gamma_0 [{\bf H}\times{\bf V}]^{\alpha} + \nabla_X \overline{U} + {\sf F}^{\alpha}_q\tag{13.6}$$ становится ясным, что уравнения Ньютона (\ref{EqNewtEH}) являются уравнениями движения классической механики для заряженной частицы в электромагнитным поле и в поле со скалярным потенциалом $\overline{U}({\bf X}(t),t)$. Поправки ${\bf {\sf F}}_q$ к ``классическим'' силам, действующим на частицу, имеют тот же смысл, что и квантовые поправки к средним значениям сил, известные в квантовой теории [29]. Остается показать, что всю идеологию с усредненным движением частиц можно рассматривать как геометрическую интерпретацию квантовой теории.

14. Квантовые уравнения динамики частиц

Рассмотрим функцию $\Psi$, следующего вида: $$\label{DefPsi} \Psi = \sqrt{{\cal M}({\bf e})|J|}e^{i\chi/\hbar}.\tag{14.1}$$ Здесь $i$ - мнимая единица, а $\hbar$ - постоянная Планка, введенная формально. Прямыми вычислениями с учетом (\ref{EqJS}) и закона сохранения для $\rho={\cal M}({\bf e})|J|$ убеждаемся, что эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера: $$\label{EqSh}i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{1}{2}\Big(-i\hbar\nabla-\gamma_0{\bf {\sf A}}\Big)^2\Psi+(\gamma_0\Phi-U_G)\Psi=0,\tag{14.2}$$ для квантовой частицы, движущейся в классическом электромагнитном поле и дополнительном поле с потенциалом: $$U_G =U-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\Delta\sqrt{|J|}}{\sqrt{|J|}},$$ где $\Delta$  - оператор Лапласа: $$       \Delta = \sum\limits_{\alpha=1}^3\frac{\partial^2}{\partial x_{\alpha}^2}.$$ Аналогичные вычисления впервые были приведены в работе [30], где указывалось на связь квантовой механики с гидродинамикой. Уравнение (\ref{EqSh}) практически не отличается от уравнения Шредингера квантовой механики, за исключением неочевидной интерпретации потенциала $U_G$. Это позволяет считать, что рассматриваемая теория объясняет квантовую теорию с геометрической точки зрения.
     В первую очередь здесь получает геометрическую интерпретацию статистический постулат Борна (\ref{StatPB}).  Определенная с помощью соотношения (\ref{DefPsi}) волновая функции автоматически приводит к геометрической интерпретации этого постулата: $$\label{StatPBG}        |\Psi|^2 = {\cal M}({\bf e})|J|.\tag{14.3}$$ Справа стоят величины, характеризующие неевклидовость ${\cal V}^3$ в терминах свойств маркерных полей. Это, как кажется, полностью исключает какую-либо вероятностную трактовку этого постулата.
     Вместе с тем хорошо известно, что статистический подход в квантовой теории
    в большинстве задач приводит к правильным с точки зрения эксперимента вычислениям. Сложности возникают в некоторых особых ситуациях, например, при анализе неравенств Белла [10], когда приходится считать, что квантовая теория вероятностей отличается от классической. Но соотношение (\ref{StatPBG}) в некотором смысле дает понимание того, почему статистический подход оказывается в большинстве ситуаций эффективным. Это понимание базируется на отмеченной выше условной двойственности частиц, как базовых топологических ячеек. С одной стороны частицы - это протяженные объекты, однако центральное место в их описании занимают критические точки фундаментального потенциала ${\cal F}$ - точечные объекты, сопоставляемые точечным зарядам. В данной теории этим особым точкам соответствуют вполне определенные маркеры. Остается вспомнить, что функция $|J|$ есть плотность маркеров. В квантовом эксперименте невозможно точно установить с помощью $|J|$, где находится та или иная критическая точка ${\cal F}$. Функция $|J|$ не содержит точной информации о положении этих точек. Но можно предполагать, что критическая точка находится вероятнее всего там, где плотность маркеров выше. Это объясняет то, почему статистическая точка зрения имеет успех при вычислениях в квантовой теории, но в основном для простых частиц типа электрона. Она же объясняет, почему статистический подход сталкивается с трудностями для более сложных частиц, таких как фотоны, в структуре которых имеются несколько критических точек.
     Вторым по важности постулатом в квантовой теории является постулат непрерывности полной функции. С точки зрения (\ref{StatPBG}) постулат непрерывности означает непрерывность функции ${\cal M}({\bf e})|J|$.  Непрерывность ${\cal M}({\bf e})|J|$ означает, что на границах базовых ячеек, для краткости $1$ и $2$, которые являются особыми изоповерхностями ${\cal F}$,  должны выполняться соотношения: $$\label{DefBJ}\left.{\cal M}({\bf e})|J|\right|_{1}=\left.{\cal M}({\bf e})|J|\right|_{2}.\tag{14.4}$$ Однако эти соотношения входят в противоречие с граничными условиями для фундаментального поля электрической индукции (\ref{DefBD}). Необходимость одновременного выполнения соотношений (\ref{DefBD}) и (\ref{DefBJ}) приводит к требованию, что на границе должны выполняться условия: $$\label{EqBCM}\left.{\cal M}({\bf e})|{\bf e}|\right|_{1}=\left.{\cal M}({\bf e})|{\bf e}|\right|_{2}.\tag{14.5}$$ Эти условия накладывают ограничения на способ нумерации маркеров в каждой ячейке. Если предположить, что функция ${\cal M}({\bf e})$ зависит только от $R=|{\bf e}|=\sqrt{2|{\cal F}_i-{\cal F}|}$ или сама непрерывна, то условие (\ref{EqBCM} сводится к непрерывности $R=|{\bf e}|$. В силу непрерывности ${\cal F}$ условием непрерывности $|{\bf e}|$ является требование выбора во всех топологических ячейках одного и того же значения для ${\cal F}_i$: $$\label{CondFi}{\cal F}_0 = {\cal F}_1={\cal F}_2={\cal F}_3=\cdots,\tag{14.6}$$  где ${\cal F}_0$ выбрано произвольно. Эти условия означают, что образом отображения почти всех простых топологических ячеек в соответствующие  листы ${\cal E}_i$ пространства маркеров будут не шары, а сферические слои с двумя радиусами $R_1<R_2$. Для почти всех непустых простых ячеек одна из граничных сфер будет образом экстремума ${\cal F}$, лежащего в ячейке. На рис.10 приведены изменения в структуре образов ячеек, приведенных на рис. 2 после использования условия (\ref{CondFi}). Как видно из рисунка, в результате ``выравнивания'' значений в экстремумах ячеек, радиусы их образов в ${\cal E}^3$ будут совпадать на границах не зависимо от листа ${\cal E}_i$, на котором эти образы находятся. Никаких изменений в расчетах, которые проводились ранее, в этом случае не происходит. Но при этом происходит общая унификация расчета масс частиц как топологических ячеек.

Рис. 10. Изменения в структуре образа ячеек (рис.2) в пространстве маркеров при использовании одного общего значения ${\cal F}_i$

      За рамками данной статьи мы оставим задачу объяснения третьего краеугольного и самого иррационального постулата квантовой теории - проекционного постулата [10]. Соответствующие объяснения требуют дополнительного анализа, лежащего за рамками концептуального изложения предлагаемой теории. Отметим, что двойственность структуры частиц в представленной здесь теории также служит элементом объяснения геометрического смысла этого постулата и связанных с ним таких проблем, как объяснение интерференционных экспериментов с электронами и другими частицами.
      Также за рамками статьи остается обсуждение операторного формализма квантовой теории. Этот аппарат, позволяющий проводить эффективно расчеты в квантовой теории, является следствием набора постулатов, часть из которых уже обсуждалась в данной работе и других работах, посвященных данной теории. Поэтому можно считать, что этот аппарат будет сохраняться и в новой теории, возможно, с некоторыми изменениями как эффективный инструмент расчетов в квантовой динамике.

15. Проблемы новой теории

В заключение данной работы рассмотрим несколько наиболее существенных проблем, которые не позволяют считать данную теорию вполне законченной физической теорией, объясняющей все основные фундаментальные явления от микро до макромира. Из общего анализа построений, приведенных в данной работе, следует, что теория вводит для объяснения свойств материи  материальную гиперповерхность ${\cal V}^3$, точки которой обладают свойством массивности. Этот атрибут точек ${\cal V}^3$, собственно, и обозначает ее материальность. Слежение за точками ${\cal V}^3$ осуществляется в теории, как и в теории непрерывных сред, с помощью полей маркеров. С помощью свойств полей маркеров удается описать свойства структуры материи, включая ее электрический заряд не как свойство отдельных точек ${\cal V}^3$, а как топологические свойства ${\cal V}^3$. Аналогичным образом удается описать и барионный заряд, опираясь на общую идею Уилера-Мизнера ``заряд-без заряда'' [21,22,23]. Все зарядовые и гравитационные свойства частиц  описываются с помощью фундаментальных полей индукции и напряженности (${\bf {\sf D}}$ и ${\bf {\sf E}}$) как электромагнитного поля, так и гравитационного (${\bf {\sf g}}$ и ${\bf {\sf Z}}$). Причем эти поля фактически являются проявлением одного и того же свойства неевклидовости ${\cal V}^3$ и по сути тесно связаны друг с другом. Уравнения этих полей подобны уравнениям классической электродинамики и тяготения, но описывают свойства ${\cal V}^3$, а не самостоятельных полей. Это описание реализует идею Эйнштейна, что поля есть свойства самого пространства-времени, но отличным от ОТО способом. В ОТО эта идея была реализована только для поля тяготения.
        Вторым элементом предлагаемой теории является использование геометрического усреднения для усредненного описания движения частиц, совпадающего по форме с описанием квантовой механики. В рамках такого описания появляются и усредненные уравнения движения  частиц, как протяженных объектов, и уравнения Шредингера. Вместе с тем построенная динамика частиц с одной стороны опирается на исходные предположения данной теории, на которых строилась тополого-геометрическая теория структуры частиц, а с другой   содержит другой комплект электромагнитных полей ${\bf E},~{\bf H}$ и т.д., отличный от фундаментальных полей.
    Если фундаментальные поля дают идеологически правильное представление о структуре частиц, то второй комплект полей входит естественным образом  в уравнения Ньютона и Шредингера. Но этот второй комплект полей связан с фундаментальными  полями лишь опосредованно через поле переноса маркеров ${\bf {\sf V}}$. Из физических соображений вытекает, что должна существовать  прямая связь между полями ${\bf {\sf D}},~{\bf {\sf H}},~{\bf {\sf g}},~{\bf {\sf Z}}$ и полями второго комплекта ${\bf {\sf A}},~{\bf E},~{\bf H},~U$ и т.д. Отсутствие такой связи является существенной проблемой данной теории.
    Наиболее существенно эта проблема выглядит для поля тяготения. В эксперименте гравитационное поле проявляется в форме существования ускорения свободного падения в каждой точке пространства. Это означает, что поле ${\bf {\sf g}}$ вместе с полем ${\bf {\sf Z}}$ должны появляться в уравнениях усредненного движения. Однако в уравнениях (\ref{EqNewtEH}) для связи с гравитационным полем имеется лишь одна скалярная функция $U$, которая напрямую не связана с полями ${\bf {\sf g}}$ и ${\bf {\sf D}}$.
     Способ преодолеть эту трудность пока не найден, но направление, в котором, по всей видимости, можно найти решение задачи, кратко было описано в работе [6]. Смысл подхода, который предположительно даст возможность замкнуть теорию в этой ее части, можно описать следующим образом. Как уже упоминалось в начале данной статьи, гиперплоскость ${\cal P}^3\in {\cal W}^4$ представляет собой математическую реализацию системы отсчета. Такая система отсчета может быть выделена с помощью усреднения ${\cal V}^3$ с той же геометрической плотностью, что и уравнения Ньютона. Действительно, усредняя уравнение (\ref{DefH3d} с плотностью ${\cal M}({\bf e})|J|$ и учитывая (\ref{DefcFi}, находим: $$w M_i = {\cal F}_i M_i +m_0\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_{V_i}|{\bf e}|^2{\cal M}({\bf e})|J|dV.$$   Отсюда находим, что уравнение усредненной гиперповерхности имеют вид: $$\label{DefP3}        w = {\cal F}_i + \frac{m_0}{M_i}\overline{R}.\tag{15.1}$$ В данной теории любой интеграл вида: $$I = \int\limits_{V_i}I({\bf e}){\cal M}({\bf e})|J|dV$$ является сохраняющейся величиной: $$    \frac{dI}{dt}=0.$$ Это является следствием того, что ${\bf e}$ по определению подчиняются уравнениям переноса маркеров. Следовательно, усредненная гиперплоскость в ${\cal W}^4$ задается уравнением (\ref{DefP3}): $w={\rm const}$. Таким образом выделяется гиперплоскость ${\cal P}^3$ для каждой отдельной частицы, которая связана общей  нумерацией маркеров в данной области пространства. Однако в реальности согласование нумерации маркеров в разных частях пространства является определенной проблемой. На рис. 11 представлена двумерная иллюстрация того, как в реальности различные нумерации маркеров могут определять различные непараллельные друг другу гиперплоскости ${\cal P}^3$.

Рис. 11.  ``Собственные'' гиперплоскости ${\cal P}_1^3$ и ${\cal P}^3_2$ для двух топологических ячеек

Общий подход к объяснению появления фундаментальных сил, связанных с ${\bf {\sf D}},~{\bf {\sf g}}$ и т.д., в уравнениях движения сводится, по всей видимости, к учету в усредненных уравнениях Ньютона и уравнение Шредингера, изменений ``собственной'' гиперплоскости ${\cal P}^3$ частицы при ее перемещении. Результатом такой модификации и должны быть обобщения уравнений динамики самогравитирующей среды (\ref{Equ})-(\ref{Eqphi}), с которых и было начато изложение основных концепций данной теории. Однако описание и анализ такого подхода выходит за рамки данной статьи.
     Еще одной проблемой предлагаемой теории, на которой следует остановиться здесь, - это проблема геометродинамики. Смысл этой проблемы, которая обсуждалась ранее в работах [5,6,7], состоит в том, что большинство соотношений, которые представляют основу предлагаемой теории, являются математическими тождествами, связывающими различные свойства полей маркеров и поля переноса. Это означает, что практически все уравнения теории определяются свойствами одной функции ${\cal F}({\bf x},t)$, для которой, тем не менее, в теории отсутствует отдельное уравнение динамики. Это означает, что все построения теории справедливы для любой гладкой функции ${\cal F}$. Но в природе реализуется только одна из возможностей формы ${\cal F}$. Отсюда следует, что для фундаментального потенциала в теории должно существовать отдельное уравнение, отражающее физическую суть конкретной реализации гиперповерхности ${\cal V}^3$ в ${\cal W}^4$. Эта физическая суть ${\cal V}^3$, частью которой мы являемся, пока недоступна для исследования в эксперименте. Поэтому можно выдвигать лишь различные гипотезы о природе ${\cal V}^3$.    Например, гиперповерхность может быть аналогом границы двух сред, заполняющих ${\cal W}^4$ или некоторую его часть. Другой гипотезой может быть предположение, что ${\cal V}^3$ есть трехмерная ``мембрана'', сама состоящая из частиц некой суперматерии. Общим в этих гипотезах является то, что описание ${\cal V}^3$ необходимо строить с помощью маркеров, нумерующих точки этой гиперповерхности. В этом случае можно предположить, что для динамики ${\cal V}^3$, как элемента ${\cal W}^4$, можно выписать более общие уравнения переноса маркеров не вдоль ${\cal P}^3$, а во всем пространстве. Общая идея такого подхода излагалась в работах [5,6,7] и в недавней работе [9].
       Общий результат построений, выполненных в этих работах, сводится к тому, что уравнение динамики ${\cal F}$ может быть сведено при достаточно общих соображениях к уравнению: $$\label{EqcFW}\nabla {\cal F} -\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2({\cal F})}\frac{\partial}{\partial t}\right){\cal F}=P({\cal F}),\tag{15.2}$$ в котором функции $c({\cal F})$ и $P({\cal F})$ требуют экспериментального обоснования. Само это уравнение по форме совпадает с обобщенным уравнением колебаний бесконечно тонкой трехмерной упругой неоднородной мембраны в четырехмерном пространстве. При этом функция $c({\cal F})$ представляет собой аналог локальной скорости упругих волн  мембраны, а $P({\cal F})$ - нормальное давление на мембрану со стороны внешних сил. В такую схему описания укладывается и гипотеза собственно мембраны, и гипотеза границы двух сред. Возможно, более полную информацию о характере динамики ${\cal V}^3$ принесет решение первой из обозначенных здесь проблем.

Приложение 1.

Из общего определения обратной матрицы можно получить следующий набор тождеств, которые используются при выводе уравнения индукции для поля ${\bf {\sf K}}$: $$\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^{a}}\frac{\partial e^{a}}{\partial x^{\beta}}=\delta^{\alpha}_{\beta},\ \        \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^{a}}\frac{\partial e^{b}}{\partial x^{\alpha}}=\delta^{b}_{a},$$ $$ \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^{a}}=\frac{1}{|J|}\varepsilon_{abc}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\frac{\partial e^{b}}{\partial x^{\beta}}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\gamma}}=\frac{1}{|J|}\varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]^{\alpha}.\tag{P.1.1}$$ Пользуясь тем, что $J$ - есть определитель матрицы Якоби (\ref{DefJ}, приходим к еще одному тождеству:   $$\label{Eqv12}\varepsilon_{abc}[\nabla e^{b}\times\nabla e^{c}]\frac{\partial e^a}{\partial x^{\beta}}=J\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial e^a}\frac{\partial e^a}{\partial x^{\beta}}=J\delta^{\alpha}_{\beta},\tag{P.1.2}$$ Из известных свойств антисимметричного символа Леви-Чивита имеем следующее тождество для произвольной антисимметричной матрицы с элементами $\lambda_{\alpha\beta}$: $$\label{Eqv13}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\varepsilon_{\gamma\mu\nu}\lambda_{\alpha\beta}=\det\left|\begin{array}{ccc}
        \delta^{\alpha}_\gamma & \delta^{\beta}_\gamma & \delta^{\gamma}_\gamma \\
        \delta^{\alpha}_\mu & \delta^{\beta}_\mu & \delta^{\gamma}_\mu \\
        \delta^{\alpha}_\nu & \delta^{\beta}_\nu & \delta^{\gamma}_\nu
        \end{array}\right|\lambda_{\alpha\beta}=\lambda_{\alpha\beta}\Big(\delta^{\alpha}_\mu \delta^{\beta}_\nu-\delta^{\alpha}_\nu \delta^{\beta}_\mu\Big)=2\lambda_{\mu\nu}.\tag{P.1.3}$$  Результатом последнего тождества является соотношение: $$\label{Eqv14}\varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\lambda_{\alpha\beta}= \varepsilon^{\alpha\beta\gamma}\varepsilon_{abc} e^{a}\frac{\partial e^{b}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial e^{c}}{\partial x^{\beta}}={\sf K}^{\gamma}.\tag{P.1.4}$$

Приложение 2

Используя (\ref{EqJ}), можно записать: $$\int\limits_{{\cal V}_i}x^{\alpha}\frac{\partial }{\partial t}\Big({\cal M}({\bf e})|J|\Big)d{\cal V}=-\int\limits_{{\cal V}_i}x^{\alpha}\frac{\partial }{\partial x^{\beta}}\Big({\sf V}^{\beta}{\cal M}({\bf e})|J|\Big)d{\cal V}.$$ Используя, последнее соотношение приводится к следующему виду. Для вычисления правой части последнего соотношения, воспользуемся  теоремой Остроградского-Гаусса. В результате находим:
$$\int\limits_{{\cal V}_i}x^{\alpha}\frac{\partial }{\partial x^{\beta}}\Big({\sf V}^{\beta}{\cal M}({\bf e})|J|\Big) d{\cal V} = -\int\limits_{{\cal V}_i}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\beta}{\cal M}({\bf e})|J|d{\cal V}+\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|x^{\alpha}{\sf V}^{\beta}d\sigma_{\beta}=$$ $$=-\int\limits_{{\cal V}_i}{\sf V}^{\alpha}{\cal M}({\bf e})|J|d{\cal V}+\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|x^{\alpha}{\sf V}^{\beta}d\sigma_{\beta}$$ Для второй производной по времени от средней координаты имеем:
$$\frac{d^2X^{\alpha}_i}{dt^2} = \int\limits_{{\cal V}_i}\left(\frac{\partial V^{\alpha}}{\partial t}{\cal M}({\bf e})|J|+V^{\alpha}\frac{\partial}{\partial t}\Big({\cal M}({\bf e})|J|\Big)\right)d{\cal V}+\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|V^{\alpha}v^{\beta}d\sigma_{\beta},$$ где $v^{\beta}$ - компоненты скорости перемещения точек границы. По аналогии имеем: $$ \int\limits_{{\cal V}_i}V^{\alpha}\frac{\partial}{\partial t}\Big({\cal M}({\bf e})|J|\Big)d{\cal V}=-\int\limits_{{\cal V}_i}\frac{\partial V^{\alpha}}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\beta}{\cal M}({\bf e})|J|d{\cal V}+\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|{\sf V}^{\alpha}{\sf V}^{\beta}d\sigma_{\beta}.$$ Подставляя последнее соотношение в выражение для второй производной от $X^{\alpha}_i$, окончательно находим: $$\frac{d^2X^{\alpha}_i}{dt^2}=\int\limits_{{\cal V}_i}\left(\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha}+{\sf V}^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\alpha}\right)|J|d{\cal V}+\oint\limits_{\partial {\cal V}_i}{\cal M}({\bf e})|J|{\sf V}^{\alpha}\Big(v^{\beta}-{\sf V}^{\beta}\Big)d\sigma_{\beta}.$$
     Часто используемым в гидродинамике [31] тождеством является следующее соотношение: $$\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha}+{\sf V}^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}{\sf V}^{\alpha}=\frac{\partial}{\partial t}{\sf V}^{\alpha} + [{\rm rot} {\bf {\sf V}}\times {\bf {\sf V}}]^{\alpha} + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}|{\bf {\sf V}}|^2.$$ После подстановки в это тождество соотношения (\ref{DefVA}), приходим к уравнению (\ref{DefFF}).

Список литературы
 
[1]  Zhuravlev V.M. A topological interpretation of quantum theory and elementary particle structure. Gravitation and Cosmology - 2011 - Vol. 17 - No. 3 - PP. 201–217

[2]  Журавлев В.М. Геометрия, топология и физические поля (Часть I). Пространство, время и фундаментальные взаимодействия, 2014, вып. 4. С. 6-24.

[3]  Журавлев В.М. Геометрия, топология и физические поля. (Часть II). Масса и гравитация, Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2014,-вып. 4. С. 25-39.

[4]  Журавлев В.М. Геометрия, топология и физические поля. (Часть III).   Уравнение индукции фундаментальных полей. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия.-2015 - N3-С. 44-60.

[5]  Журавлев В.М. Геометрия, топология и физические поля. ((Часть IV). Топологическая структура элементарных частиц. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. -2015.-N4-С. 104-118.

[6] Журавлев В.М. Материя и геометрия. ОТО и далее.... Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. -2016.-N2-С. 5-26.

[7] Zhuravlev V.M. Induction Equations for Fundamental Fields and Dark Matter. Gravitation and Cosmology, 2017, Vol. 23, No. 2, pp. 95–104 (2017)

[8] Журавлев В.М. Принцип материальности пространства и фундаментальные поля. Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2020. № 3. C. 37—57.

[9] Zhuravlev V. M. The principle of materiality of space and the theory of fundamental fields 2021 J. Phys.: Conf. Ser. 2081 012038

[10] Садбери А. Квантовая механика и теория элементарных частиц. М.: Мир, 1989

[11] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, М., 1955.

[12] Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности - 1970 - М.:Мир - C. 142

[13] Клиффорд В. О пространственной теории материи. В сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации - М.: Мир - 1979 -  C. 36-37

[14] Зельдович Я.~Б.,Новиков И.~Д.. Теория тяготения и эволюция звезд. Наука, Москва, 1971

[15] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979

[16] Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971. 561 c.

[17] Журавлев В.М. Электродинамика с целочисленными
зарядами и топология. Гравитация и электромагнетизм: тр. межд. конф. Минск. БГУ, 1998. C. 42--50.

[18] Журавлев В.М. Электродинамика с целочисленными
зарядами и топология. Изв. вузов. Физика, 2000. №2. C. 134--140

[19] Стернберг С. Лекции по дифференицальной геометрии. М.: Мир, 1970

[20] Хирш M.  Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979

[21] Misner C.W., Wheeler J.A. Ann. Phys. USA, 1957. №2. pp. 527--537

[22] Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: И.Л., 1962. 352 c.

[23] Мизнер Ч.,Уилер Дж. Классическая физика как геометрия. В сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации - М.: Мир - 1979 - C. 542-554

[24] Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т.. Современная геометрия. Методы теории гомологий -М.: Наука - 1984 - С. 343;
Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т.. Современная геометрия.
Методы и приложения - М.: Наука - 1979 - С. 760

[25] Milnor J. W. , Topology from the Differentiable
Viewpoint (Princeton Univ., based on notes by David
W. Weaver, Univ. of Virginia, Charlottesville. 1965);
Wallace A. H. , Differential Topology. First Steps
(Univ. of Pennsylvania, W. A. Benjamin, New York–
Amsterdam, 1968).

[26] Шапиро И.С.,Ольшанецкий М.А.. Топология для физиков. В сб. Элементарные частицы ( Шестая школа ИТЭФ) - 1979 - В.4 - С.5-60

[27] Савельев Н.Н. Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона. М.: МЦНМО, 2004

[28] Коккедэ Я. Теория кварков, Мир, Москва 1971;
J.J.J. Kokkedee. The quark model. University of Nijmegon The Netherlends, W.A. Benjamin, Inc. New York, Amsterdam (1969), 329с.

[29] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Квантовая Механика. Нерелятивистская теория. Т.3. М.: Наука, 1989

[30] Madelung E. Quantentheorie in hydrodynamischer Form. Zeitschrift fur Physik. 1926. Vol. 40. P. 322–326.

[31] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. Т.6. М.: Наука, 1989