Задача трех тел состоит в определении относительного движения трех материальных точек, связанных гравитационным взаимодействием. В общем случае эта задача не может быть решена в конечных аналитических выражениях. На сегодняшний день известно только пять точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов. Первые три решения были найдены еще Эйлером, еще два нашел Лагранж в 1772 году.

Более двухсот лет прошло, прежде чем сербские ученые Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович в 2013 году нашли 13 ! новых частных решений  для трех тел одинаковой массы. Задача трех тел все еще ждет своих исследователей!!

Рассмотрим ограниченную задачу трех тел для системы Солце-Земля-Луна. Ограничение состоит в том, что орбиту Земли мы считаем строго круговой, а массой Луны пренебрегаем. Это означает, что вокруг Солнца движется центр Земли, и Луна в свою очередь вращается относительно центра Земли, а не центра масс пары Земля-Луна. Ну и конечно центр Солнца, помещенный в начале координат, не смещается при движении Земли и Луны.

Для получения уравнений движения воспользуемся Лагранжевым формализмом. В качестве обобщенных координат возьмем расстояние между Землей и Луной и угловое расстояние Луны от точки весеннего равноденствия.

Для начала запишем абсолютные координаты Луны в неподвижной системе отсчета, связанной с центром Солнца.

Пусть Земля движется по круговой орбите радиусом в 1 а.е. = 1.496*10¹¹ м. Перигей лунной орбиты примем равным 3,57*10⁸ м. Скорость Луны в перигее 1023 м/с. Решим систему ДУ с данными начальными условиями, ограничив время 4096 сут. В результате мы получим функции r(t) и θ(t).

Частотный состав этих функций нам поможет определить быстрое преобразование Фурье.

Результаты расчета можно видеть на Рис. 2.

Рис. 2.

Варьируя только один параметр – скорость Луны в перигее, мы можем получать различные режимы движения и сравнивать их количественные характеристики со справочными значениями.

Так, приняв скорость Луны в перигее равной 1023 м/с, мы нашли, что среднее расстояние составило 383500 км, а максимальное расстояние 403400 км. Справочные значения для этих величин соответственно равны 384400 км для среднего расстояния и  406740 км для максимального. (В действительности, если мы возьмем эфемериды NASA за 20 лет, то окажется, что среднее расстояние Земля-Луна равно 385050 км, минимальное 356598 км, максимальное 406735 км.)

Частотный анализ расстояния показывает, что максимальную амплитуду имеет гармоника с  периодом 27,55 сут. Это аномалистический период, его числовое значение соответствует справочному. Частотный анализ функции sin(θ) дает нам значение сидерического периода обращения Луны. Найденное значение тоже отвечает справочному – 27.32 сут. Очевидно, что перигей наступает чуть позже, чем происходит возвращение Луны по долготе. Перигей движется по ходу Луны и завершает круг за   27,32*27,55/(27,55-27,32)=3272 cут ( принятое значение для периода обращения линии апсид 3232 сут).

Средняя угловая скорость движения Луны в нашем расчете равна 2,661*10^-6 рад/с.

Частотные характеристики отклонения долготы Луны от  рассчитанного с помощью среднего движения – неравенства Луны, представлены тремя классическими компонентами: 31,8 сут, 27,55 сут и 14,78 сут (Рис. 3).

Рис. 3.

Таким образом, ограниченная задача трех тел, применительно к системе Солнце-Земля-Луна способна вполне адекватно качественно и с некоторой точностью количественно описать движение Луны вокруг Земли.

 Стоит обратить внимание на то, что эллиптичность орбиты Земли, масса Луны и вращение Земли и Луны вокруг их общего центра масс не учитываются в расчете, однако результат вполне соответствует реальности. Выбором начальных условий можно попробовать добиться максимального соответствия модели результатам наблюдений. Однако открытым остается вопрос, какое влияние оказывает масса Луны на ее орбитальные характеристики и на движение центра Земли. Но это уже другая история. А именно  ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С УЧЕТОМ МАССЫ ЛУНЫ.