4. Многозначные решения уравнений параболического типа

​​Среди уравнений, которые рассматривались в разделе 2 отчета по гранту, отсутсвуют уравнения параболического типа. Вместе с тем можно ожидать, что тактого рода решения могут иметься и в общем классе уравнений параболичесского типа, в чстности, в классе диффузионных уравнений и уравнений типа Шредингера (параболические уравнения с мнимым временем). В работе Журавлев В.М., Морозов В.М., 2017 было показно, как можно построить решения для линейных уравнений такого типа в координатной размерности 2. 

​4.1. Двумерное параболическое уравнение в комплексных координатах 

​Рассмотрим уравнения диффузии (теплопроводности) следующего вида:
$$\Psi_{t}-D(t)\Delta \Psi - U(x,y,t)\Psi=0\tag{4.1}\label{EqP2}$$ Введем комплексные координаты полагая: $z=x+iy$ и $z^*=x-iy$.  В результате уравнение (\ref{EqP2}) можно записать так: $$\Psi_{t}-4D(t) \Psi_{zz^*} - U(z,z^*,t)\Psi=0\tag{4.2}\label{EqP2C}$$ Решение этого уравнения будем искать в следующем виде: $$\Psi(z,z^*,t)=e^{\theta(z,z^*,t)+\lambda \phi(z,z^*,t)},\tag{4.3}\label{GSolPsi}$$ где $\lambda$ - некоторый (спектральный) комплексный параметр. Функции $\phi$ и $\theta$ будем называть фазовыми. Подставляя функцию $\Psi(z,z^*,t)$ в уравнение (\ref{EqP2C}), приходим к следующему соотношению: $$4D\lambda^2\phi_{z}\phi_{z^*}+\lambda \Big(\phi_{t}-4D\theta_{z^*}\phi_{z}-4D\theta_{z}\phi_{z^*}-4D\phi_{zz^*}\Big)+\theta_{t}-4D\theta_{zz^*}-4D\theta_z\theta_{z^*}-U=0 $$ Предполагая, что функция $U(z,z^*,t)$ не зависит от $\lambda$, приходим к трем уравнениям для функций $\theta(z,z^*,t)$, $\phi(z,z^*,t)$ и $U(z,z^*,t)$: $$\phi_{z}\phi_{z^*}=0,$$ $$\phi_{t}-4D\theta_{z^*}\phi_{z}-4D\theta_{z}\phi_{z^*}-4D\phi_{zz^*}=0\tag{4.4}\label{EqptU}$$ $$\theta_{t}-4D\theta_{zz^*}-4D\theta_{z}\theta_{z^*}-U=0$$ Первое из этой системы уравнений имеет два независмых решения: $$(1)\  \phi=\phi(z,t),\quad (2)\  \phi=\phi(z^*,t),$$ где функции Эти два решения, фактически, эквивалентны друг другу. Поэтому рассморим далее решения соотвествующие решению (1).
    В случае  $\phi=\phi(z,t)$ второе уравнение системы (\ref{EqptU}) принимает такой вид: $$\phi_t-4D(t)\theta_{z^*}\phi_z=0.\tag{4.5}\label{Eqphi}$$ При заданной функции $\phi(z,t)$ из последнего уравнения находим функцию $\theta(z,z^*,t)$: $$\theta=v(z,t)z^*+g(z,t),\tag{4.6}\label{Eqth}$$ где $g(z,t)$ - постоянная интегрирования по $z^*$ и введено обозначение: $$v(z,t)=\frac{\phi_t}{4D(t)\phi_z}.$$ Подстаявляя полученные соотношения в третье уравнение системы (\ref{EqptU}), вычисляем функцию $U(z,z^*,t)$: $$U=v_tz^*+g_t-4D\Big(v_z+vv_zz^*+vg_z\Big).$$ Это соотношение перепишем в следующей форме: $$U=M(z,t)z^*+N(z,t),\tag{4.7}\label{DefU}$$ где: $$M(z,t)=v_t-4D(t)vv_z,\quad N(z,t)=g_t-4D(t)vg_z-4D(t)v_z.\tag{4.8}\label{DefMN}$$ Последние два соотношения при заданных функциях $M(z,t)$ и $N(z,t)$ можно рассматривать как уравнения для функций $v(z,t)$ и $g(z,t)$, которые дают решение уравнений (\ref{EqP2C}) и  (\ref{EqP2}) для заданной функции $U(z,z^*,t)$ общего вида (\ref{DefU}).

4.2. Уравнения и решения для фазовых функций

Как следует из предыдущих построений, задача построения решений параболических уравнений общего вида (\ref{EqP2}) для функции $U(z,z^*,t)$ общего вида (\ref{DefU}) сводится к решению системы из трех квазилинейных уравнений первого следующего вида: $$v_{\tau}-vv_z=m(z,\tau)$$$$\phi_{\tau}-v\phi_z=0,\tag{4.8}\label{Eqvpg}$$$$g_{\tau}-vg_z-v_z=n(z,\tau).$$ Здесь введены обозначения: $$\tau=4\int D(t)dt,\quad m(z,\tau)=\frac{M(z,t)}{4D(t)},\quad n(z,\tau)=\frac{N(z,t)}{4D(t)}.$$ Здесь следует отметить, что при таком выборе переменной $\tau$ она может быть комплексной. Поэтому при решении конкретных задач, например в случае квантвой механики и оптики удобнее выбирать $\tau$ так, что бы она была вещественной. В дальнейшем мы воспользуемся этим замечанием. 
Решение первого уравнения можно построить с помощью метода характеристик. Именно, метод характеристик для первого уравнения системы (\ref{Eqvpg}) приводит к системе обыкновенных дифференицальных уравнений следующего вида: $$\frac{dz}{d\tau}=-v,\quad \frac{dv}{d\tau}=m(z,\tau).\tag{4.9}\label{Eqzv}$$ Исключая из этой системы $v$ получаем уравнение для характеристик в следующем виде: $$\frac{d^2z}{d\tau^2}=-m(z,\tau).\tag{4.10}\label{Eqzm}$$
В общем случае уравнение (\ref{Eqzm}) имеет решение с двумя произвольными постоянными $I_1$ и $I_2$, которые являются интегралами движения вдоль характеристик. Эти интегралы движения являются функциями переменных $z,v$ и $\tau$: $I_1=I_1(z,v,\tau)$ и $I_2=I_2(z,v,\tau)$. Общее решение для функции $v(z,t)$ может быть представлено в виде неявной функции следующего общего вида: $$H(I_1(z,v,t),I_2(z,v,t))=0,\tag{4.11}\label{GSolv}$$ где $H(I_1,I_2)$ - произвольная комплексная дифференцируемая функция  двух аргументов. 
Решение для функции $\phi(z,t)$ можно записать теперь в следующем виде: $$\phi=P(I_1(z,v,t),I_2(z,v,t)),$$ где $I_1$ и $I_2$ - определенные выше интегралы движения. Соответственно, для функции $g(z,t)$ решение можно записать в такой форме: $$g(z,t)=\int\limits_{C}\Big(v_z+n(z,t)\Big)d\tau+G(I_1,I_2),$$ где $G(I_1,I_2)$ - произвольная дифференцируемая функция двух аргуметов и интеграл в правой части берется вдоль характеристик. Общее решение уравнения (\ref{EqP2}) для заданной функции $U(z,z^*,t)$ общего вида (\ref{DefU}) теперь можно записать в следующем виде: $$\Psi=e^{v(z,t)z^*+g(z,t)}\int e^{\lambda P(I_1,I_2)} d\lambda.\tag{4.12}\label{SolPsi}$$

4.3. Другое представление решения

Решение в форме (\ref{SolPsi}) неудобно для применения в прикладных задачах. Оно содержит интеграл по характеристике от неизвестной функции  $v_z$. Покажем, что можно представить это решение в более удобной форме. Решение (\ref{SolPsi}) запишем в такой форме: $$\Psi=R(z,t)e^{v(z,t)z^*}.$$ Подставляя эту функцию в уравнение (\ref{EqP2C}) приходим к следующему соотношению для функции $R(z,t)$: $$R_t-4D(t)\frac{\partial}{\partial z}\Big(Rv\Big)-N(z,t)R=0,\tag{4.13}\label{EqR}$$ где $N(z,t)$  определена соотношением из (\ref{DefMN}). Представим функцию $R(z,t)$ в виде произведения двух функций: $R=PQ$, где функция $P$ удовлетворяет уравнению:$$P_t-4D(t)\frac{\partial}{\partial z}\Big(Pv\Big)=0,\tag{4.14}\label{EqP}$$ которое представляет собой дифференциальный закон сохранения с плотностью $P$. При этом функция $Q(z,t)$ удовлетворяет неоднородному квазилинейному уравнению первого порядка: $$Q_t-4D(t)vQ_z-N(z,t)Q=0,\tag{4.15}\label{EqQ}$$  Уравнение (\ref{EqP}) эквивалентно паре уравнений: $$P=\frac{\partial W}{\partial z},~~4DvP=\frac{\partial W}{\partial t}.$$ Исключая из этих уравнений $P$ приходим к одному уравнению для $W(z,t)$, имеющему такой вид: $$W_t-4D(t)vW_z=0.\tag{4.16}\label{EqW}$$
     Ипользуя обозначения, которые были введены в разделе 4.2 при построении решений на характеристиках уравнений (\ref{Eqvpg}), решения уравнений (\ref{EqQ}) и (\ref{EqW}) можно записать так: $$W=W(I_1,I_2),~~Q=Q_0(I_1,I_2)e^{\int\limits_{C}n(z,\tau)d\tau},$$ где интеграл в показателе экспоненты берется вдоль характеристик, а $I_1$ и $I_2$ - интегралы движения системы (\ref{Eqvpg}). В результате решение для функции $\Psi$ можно записать в следующем виде: $$\Psi=e^{z^*v(z,t)}e^{\int\limits_{C}n(z,\tau)d\tau}Q_0(I_1,I_2)\frac{\partial W(I_1,I_2)}{\partial z}.\tag{4.17}\label{SolPsiW}$$ Поскольку интегралы движения $I_1$ и $I_2$ связаны между собой в силу необходимости выполнения уравнения (\ref{GSolv}), то наличие множителя $Q_0(I_1,I_2)$ - не существенно. В силу произвольности $W(I_1,I_2)$ множитель $Q_0W_z$ может быть всегда преобразован к виду $\tilde{W}_z$ с некотрой новой функцией $\tilde{W}(I_1,I_2)$. В дальнейшем множитель $Q_0(I_1,I_2)$ будем опускать. Таким образом, решение в форме (\ref{SolPsiW}) представляет эквивалент решения (\ref{SolPsi}), но в более удобной форме, не содержащей интеграла по характеритике от $v_z$.

4.4. Вещественный потенциал

Уравнения вида (\ref{EqP2}) встречаются в различных разделах физики. В случае, если $D(t)$ - вещественная функция $t$, уравнение (\ref{EqP2}) представляет собой уравнение диффузии или теплопроводности с источником в форме функции $J(x,y,t)=U(x,y,t)\Psi$. При этом источник должен быть также вещественной функцией, если речь не идет о двух связанных уравнениях диффузии  для двух независимых примесей в среде. Второй вариант использования уравнения  (\ref{EqP2}) - это динамика квантовой частицы в системе с вещественным потенциалом $V(x,y,t)=iU(x,y,t)$, где $U(x,y,t)$  в этом случае - чисто мнимая  функция. При этом следует полагать $D(t)=-i\hbar/2m$, где $\hbar$ - постоянная Планка, а $m$ - масса частицы. Третий варинт использования уравнения (\ref{EqP2}) - это задачи о распространении электромагнитного излучения в неоднородной среде в параболическом приближении. В этом случае функция $Q(t)=iD(t)$ - коэффициент дисперсии среды, который, вообще говоря, может быть комплексной величиной, а вещественная часть функци  $V(x,y,t)=iU(x,y,t)$ является показателем преломления среды, зависящим от $x,y$ и $t$. В оптических задачах переменная $t$ обычно представляет собой координату вдоль направления распространсения излучения, а $x$ и $y$ при этом являются поперечными координатами пучка. Если в оптической среде нет диссипации и накачки, т.е. среда не активна, то и коэффициент дисперсии и коэффициент преломления являются вещестивенными функциями, а $D(t)$ и $U(x,y,t)$ - чисто мнимыми. 

Из этого анализа следует, что для теории диффузии, квантовой теории и оптики неоднородных неактивных сред имеются существенные ограничения на вид функции $U(x,y,t)$. Все такие ограничения укладываются в следующее общее требование для функции $U(z,z^*,t)$ общего вида (\ref{DefU}): $$U=A(t)zz^*+B(t)z+B^*(t)z^*+C(t),\tag{4.18}\label{DefReU}$$ где $A(t),\ B(t),\ C(t)$ - вообще говоря, комплексные функции $t$, вид которых должен выбираться, исходя из типа конкретной задачи. Например, в квантовой теории при $A=ia(t)$ и $C=ic(t)$ - потенциал $V(x,y,t)$ будет предсьавлять собой потеницал двумерного нестационарного гармонического осциллятора. Вместе с тем, сущкствуют и другие варинты использования построеннных решений для случая, когда $U(x,y,t)$ имеет общий вид (\ref{DefU}). Рассмотрим все возможности по отдельности. 

​4.5. Диффузия и гидродинамическая аналогия

 Рассмотрим вначале вариант уравнения (\ref{EqP2}), описывающий процесс диффузии (или теплопроводности). В этом случае коэффицент $D(t)$ является вещественным. Введем вспомогательную функцию $\Phi$, полагая: $$\Phi=\ln \Psi.$$ Тогда уравнение для $\Phi$ будет иметь такой вид: $$\Phi_t-D(t)\Delta \Phi+D(t)(\nabla \Phi,\nabla \Phi) = U.\tag{4.19}\label{EqPhi}$$  Введем векторное поле ${\bf u}=(u_x,u_y)$ с компонентами: $$u_x=-2D(t)\frac{\partial \Phi}{\partial x},\quad u_y=-2D(t)\frac{\partial \Phi}{\partial y}$$. Дифференцируя (\ref{EqPhi}) по $x$ и $y$, получаем систему уравнений для компонент поля ${\bf u}$ следующего вида: $${\bf u}_t+({\bf u},\nabla){\bf u}=D(t)\Delta {\bf u}+2 D(t)\nabla U.\tag{4.20}\label{Equ}$$ Введем комплексную скорость потока $w(z,z^*,t)$, полагая: $$w=u_x+iu_y=-2D(t)\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}+i\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)=-2D(t)\frac{\partial \Phi}{\partial z^*}$$ Подставляя сюда решение (\ref{SolPsiW}) приходим к следующему соотношению: $$w=-2D(t)v(z).$$ Это соотношение объясняет физический смысл функции $v(z,t)$ как комплексной скорости гидродинамического потока сопровождающего диффузию.