III. Развернутый отчет (Часть II)

III.3. Дискретные системы

К настоящему времени методы интегрирования нелинейных уравнений математической физики в частных производных представлены несколькими достаточно общими методами, среди которых наиболее важную роль играют два. Это метод обратной задачи (МОЗ) в разных вариантах [1, 2] и метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ) [3].

Для конечномерных динамических систем прогресс в решении аналогичной проблемы построения полезных интегрируемых уравнений выглядит значительно скромнее. Здесь общие результаты в основном сводятся к отысканию уравнений, обладающих некоторым набором интегралов движения, как это имеет место для случая конечномерных гамильтоновских систем. Поскольку, как правило, сам по себе вид законов сохранения не определяет физические свойства динамических систем, то простой перебор таких вариантов оказывается мало полезным на практике.

В результате возникает задача отыскания каких-либо методов, которые позволяли бы строить интегрируемые конечномерные динамические системы, исходя из каких-либо других их свойств, как это имеет место в случае методов МОЗ или МОПКХ [3]. В настоящей работе предлагается один такой метод, который строится на базе метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа, который был развит в работах [4, 3]. Основная идея переноса МОПКХ на конечномерные динамические системы состоит в замене производных по пространственной координате на производную на матричной алгебре, эквивалентную матричному коммутатору по одной из образующих алгебры. В работе развивается общая идеология такого подхода и приводятся результаты ее применения для некоторых алгебр небольшой размерности.

III.3.1. Дифференциально-алгебраические операторы
 

Рассмотрим матричные функции времени  $\hat{T}(t)$, заданные на некоторой матричной алгебре ${\cal A}$ с конечным числом образующих  $\hat{g}_i,~i=1,\ldots,N$:

$$\hat{T} = \sum\limits_{i=1}^N \tau_i(t)\hat{g}_i. \tag{3.1}\label{Eq1}$$
На алгебре ${\cal A}$ рассмотрим оператор, действующий на любую функцию $\hat{F} =\sum\limits_{i=1}N \phi_i(t)\hat{g}_i$ на этой алгебре по правилу:

$$\hat{D}_x\hat{F} = [\hat{x}, \hat{F}] = \sum\limits_{i=1}N\phi_i(t)[\hat{x},\hat{g}_i], \tag{3.2}\label{Eq2}$$
где $\hat{x}=\sum\limits_{i=1}N\xi_i\hat{g}_i$ - некоторый выделенный, независящий от времени $t$  элемент алгебры  ${\cal A}$. Из $(\ref{Eq2})$ следует:

$$\hat{D}_x\hat{F} = \sum\limits_{i=1}^N\phi_i(t)\xi_j[\hat{g}_j,\hat{g}_i].$$ 
Пусть для образующих алгебры выполнены следующие соотношения:

$$\hat{g}_k\hat{g}_j = \sum\limits_{i=1}^N C_{kji}\hat{g}_i.$$
Тогда имеем:$$\hat{D}_x\hat{F}=\sum\limits_{i=1}^N\phi_i(t)\xi_j\Big[C_{jik}-C_{ijk}\Big]\hat{g}_k.$$

Можно видеть, что оператор $\hat{D}_x$ представляет собой оператор дифференцирования в том смысле, что он удовлетворяет правилу Лейбница. Еще одним свойством оператора $\hat{D}_x$ является его перестановочность (коммутативность) с производной по переменной $t$ , что обеспечивается независимостью от $t$ выделенного элемента $\hat{x}$. Эти два свойства позволяют применить к уравнениям на любой матричной алгебре ${\cal A}$ метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа, развитый в [3].
Для сокращения записи введем следующие обозначения:

$$\hat{T}_t=\frac{d}{d t}\hat{T},~~\hat{T}_x = \hat{D}_x\hat{T} = [\hat{x},\hat{T}],~~\hat{T}_{xx} = \hat{D}_x\hat{D}_x\hat{T} = [\hat{x},[\hat{x},\hat{T}]],\ldots. $$
Аналогичные обозначения вводятся и для других матриц.

III.3.2. Дифференциально-алгебраический аналог обобщенных подстановок Коула-Хопфа

По аналогии с [3] рассмотрим следующую совокупность дифференциальных соотношений для вспомогательной функции $\hat{T}$:

$$\hat{T}_t+\hat{V} \hat{T}_x =0,~~\hat{T}_{xx}+\hat{U}\hat{T}_x=0,~~\hat{T}_{xt}+\hat{Q}\hat{T}_x=0,\tag{3.3}\label{Eq3}$$
$$\hat{T}_{xxx}=-\Big(\hat{U}_x-\hat{U}^2\Big)\hat{T}_x=0,$$
$$\hat{T}_{xxt}=-\Big(\hat{U}_t-\hat{U}\hat{Q}\Big)\hat{T}_x=-\Big(\hat{Q}_x-\hat{Q}\hat{U}\Big)\hat{T}_x,\tag{3.4}\label{Eq4}$$
Здесь $\hat{Q} = -\Big(\hat{V}_x-\hat{V}\hat{U})$. Из равенства $(\ref{Eq4})$ следует соотношение:

$$\hat{U}_t -\hat{Q}_x + [\hat{Q},\hat{U}] = 0,\tag{3.5}\label{Eq5}$$

связывающее матрицы  $\hat{U}$ и $\hat{Q}$   в случае, если они определены соотношениями $(\ref{Eq3})$ при произвольной матрице  $\hat{T}$. Это соотношение можно переписать таким образом:  
         $$\hat{U}_t -[\hat{x},\hat{Q}] + [\hat{Q},\hat{U}]=\hat{U}_t  + [\hat{Q},(\hat{U}+\hat{x})]=0. \tag{3.6}\label{Eq6}$$

Полагая

$$\hat{V}=\sum\limits_{i=1}^N v_{i}\hat{g}_i,~~\hat{U}=\sum\limits_{i=1}^N u_{i}\hat{g}_i,~~\hat{Q}=\sum\limits_{i=1}^N q_{i}\hat{g}_i,$$
находим

$$\hat{Q}=-[\hat{x},\hat{V}]+\hat{V}\hat{U}=-\sum\limits_{i,j,k=1}^N \Big([C_{jki}-C_{kji}]\xi_{j}+C_{jki}u_j\Big)v_k\hat{g}_i.$$
Отсюда

$$ q_i(t) =-\sum\limits_{j,k=1}^N\Big([C_{jki}-C_{kji}]\xi_{j}+C_{jki}u_j\Big)v_{k}. \tag{3.7}\label{Eq7}$$
В результате следует, что уравнение  $(\ref{Eq6})$ эквивалентно следующей системе уравнений:

$$\dot{u}_n = -\sum\limits_{i,j=1}^N C_{ijn}q_i(u_j+\xi_j),~~n=1,\ldots,N.\tag{3.8}\label{Eq8}$$
Подставляя в это уравнение соотношения  $(\ref{Eq7})$ , получаем следующую систему уравнений:

$$\dot{u}_n = \sum\limits_{i,j=1}^N C_{ijn}\Big(C_{jki}(u_j+\xi_j)-C_{kji}\xi_{j}\Big)v_{k}(u_j+\xi_j). \tag{3.9}\label{Eq9}$$

Система  $(\ref{Eq9})$ представляет собой совокупность дифференциальных тождеств, которым удовлетворяют функции  $v_k(t),~u_k(t)$ в случае, если они вычисляются из соотношений  $(\ref{Eq3})$ при произвольной матричной функции $\hat{T}$, заданной соотношением  $(\ref{Eq1})$ на алгебре ${\cal A}$.

III.3.3. Общий метод дискретных подстановок Коула-Хопфа
Общий метод построения интегрируемых уравнений с помощью подстановок Коула-Хопфа дискретных систем, как и в случае уравнений в частных производных, состоит в явном вычислении нелинейного уравнения, исходя из конкретного вида произвольного интегрируемого уравнения, например, линейного, с помощью дифференциальных соотношений $(\ref{Eq3})$ и их произвольного порядка дифференциальных следствий относительно вспомогательной матричной функции $\hat{T}$. Именно, из  $(\ref{Eq3})$ по аналогии c [3] можно получить все возможные дифференциальные соотношения следующего вида:  
         $$\frac{d^n}{dt^n}{\underbrace{[\hat{x},\cdots,[\hat{x},\hat{T}]]}_{k}}=\hat{A}^{(n,k)}[\hat{x},\hat{T}],~~n=0,1,\ldots;~k=0,1,\ldots. \tag{3.10}\label{Eq10}$$
матричные коэффициенты $\hat{A}^{(n,k)}$  могут быть вычислены с помощью рекуррентных соотношений:  
 $$\hat{A}^{(n+1,k)} = \frac{d}{dt}\hat{A}^{(n,k)} -\hat{A}^{(n,k)}\hat{Q},$$
$$\hat{A}^{(n,k+1)} = [\hat{x},\hat{A}^{(n,k)}] -\hat{A}^{(n,k)}\hat{U}, \tag{3.11}\label{Eq11}$$
при начальных условиях:

$$\hat{A}^{(0,1)} = \hat{1},~~\hat{A}^{(1,0)}= - \hat{V},~~\hat{A}^{(0,2)}=- \hat{U}.$$
Матричные коэффициенты $\hat{A}^{(n,k)}$  являются дифференциальными полиномами от функций  $\hat{U}$  и $\hat{V}$.

В результате любому линейному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции   $\hat{T}$:
         $$\sum\limits_{k=0}^M \sum\limits_{n=0}^L\hat{C}_{k,n}(t)\frac{d^n}{dt^n}\underbrace{[\hat{x},\cdots,[\hat{x},\hat{T}]]}_{k}=0,~~\hat{C}_{0,0}=0, \tag{3.12}\label{Eq12}$$
 с произвольными функциями  $\hat{C}_{k,n}(t)$  с помощью дифференциальных соотношений  (10) можно сопоставить нелинейное уравнение относительно функций  $\hat{U}$  и $\hat{V}$ :  
         $$\sum\limits_{k=0}^M \sum\limits_{n=0}^L\hat{C}_{k,n}(t)\hat{A}^{(n,k)}=0,~~\hat{C}_{0,0}=0. \tag{3.13}\label{Eq13}$$

Из самого принципа построения уравнений $(\ref{Eq13})$ следует, что их интегрируемость связана напрямую с интегрируемостью уравнений  $(\ref{Eq12})$. Действительно, в случае интегрируемости уравнений  $(\ref{Eq12})$ имеется возможность явно вычислить решения для матричной функции $\hat{T}$ . Тогда в силу дифференциальных соотношений  $(\ref{Eq3})$ , вычисляются явно функции  $\hat{U},\hat{V},\hat{Q}$, которые заведомо обращают уравнения  $(\ref{Eq13})$ в тождество. Соотношения  (3) и являются собственно обобщёнными подстановками типа Коула-Хопфа.

III.3.4. Интегралы движения

Рассмотрим случай  $\hat{C}_{k,n}={\rm const}$, для которого запишем явно интегралы движения. Представим уравнения  (13) в следующем виде:  
$$\sum\limits_{k=1}^M \sum\limits_{n=1}^L\hat{C}_{k,n}\hat{A}^{(n,k)}+\sum\limits_{n=2}^L\hat{C}_{0,n}\hat{A}^{(n,0)}+\sum\limits_{k=2}^M\hat{C}_{k,0}\hat{A}^{(0,k)}=\hat{C}_{1,0}\hat{V} - \hat{C}_{0,1}\hat{1}.\tag{3.14}\label{Eq14}$$   
 Пользуясь рекуррентными соотношениями  (11) ,  (14) преобразуем к следующему виду:  
 $$\frac{d}{dt}\left[(\hat{F}+\hat{F}_0)[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{1,0}\hat{T} \right]+\left[\hat{x},\hat{G}_0[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{0,1}\hat{T}\right]=0.\tag{3.15}\label{Eq15}$$
 Здесь введены обозначения:
 $$\hat{F}_0 =\sum\limits_{n=2}^L\hat{C}_{0,n}\hat{A}^{(n-1,0)},~~\hat{G}_0=\sum\limits_{k=2}^M\hat{C}_{k,0}\hat{A}^{(0,k-1)}.$$  
и использовано первое из уравнений  (3) . Полученное соотношение  (15) представляет собой аналог дифференциального закона сохранения в теории уравнений с частными производными. Вычисляя след этого уравнения и учитывая, что след коммутатора равен нулю, приходим к общему интегралу движения в следующем виде:  
$${\rm Sp}\left\{\Big[(\hat{F}+\hat{F}_0)[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{1,0}\hat{T}\Big]\right\}=I_0={\rm const}. \tag{3.16}\label{Eq16}$$
Для построения других законов сохранения воспользуемся следующей формулой:

$$[\hat{x}^{n+1},\hat{T}]=\sum\limits_{k=0}^{n}\hat{x}^k [\hat{x},\hat{T}]
\hat{x}^{n-k}.\tag{3.17}\label{Eq17}$$
Применяя эти соотношения к  (15) , приходим к совокупности аналогов дифференциальных законов сохранения:

$$\frac{d}{dt}\left[\sum\limits_{k=0}^{n}\hat{x}^k\left[(\hat{F}+\hat{F}_0)[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{1,0}\hat{T} \right]\hat{x}^{n-k}\right]+\left[\hat{x}^{n+1},\hat{G}_0[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{0,1}\hat{T}\right]=0,~~n=1,2,\ldots.\tag{3.18}\label{Eq18}$$
Этим законам сохранения соответствуют следующие интегралы движения:

$${\rm Sp}\left\{\sum\limits_{k=0}^{n}\hat{x}^k\left[(\hat{F}+\hat{F}_0)[\hat{x},\hat{T}]+\hat{C}_{1,0}\hat{T}\right]\hat{x}^{n-k}\right\}=I_n={\rm const}. \tag{3.19}\label{Eq19}$$

III.3.5. Построение точных решений

Решения уравнений, получаемых в результате использования метода, описанного выше, строятся с помощью явного вычисления решения уравнения для функций  $\tau_k$ в представлении матрицы $\hat{T}$, которая удовлетворяет дополнительному уравнению. Дополнительные уравнения (10) для произвольного $n$ эквивалентны следующей системе уравнений для  $\tau_k$:

$$\dot{\tau}_k = P^{(n)}_{km}\tau_m. \tag{3.20}\label{Eq20}$$
Коэффициенты $P^{(n)}_{km}$ образуют матрицу ${\bf P}^{(n)}$  размерности $N\times N$, которая в матричном виде может быть записана следующим образом:

$${\bf P}^{(n)}={\bf P}({\bf Q})^n.$$  
Решение уравнения  (20) строится без труда. Обозначим собственные числа матрицы ${\bf P}^{(n)}$  через  $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$, а собственные ее вектора (столбцы) через  ${\bf h}_{(k)},~k=1,\ldots,N$. Тогда решение уравнения можно записать в следующем виде:

$$\tau_j(t) = \sum\limits_{k=1}^N e^{\lambda_k t} C_k h_{j(k)},$$
где $C_k$ - произвольные постоянные интегрирования. Соответствующий данному решению вид функций $u_k(t)$ вычисляется из соотношений (3). В явном виде соотношение для вычисления   $u_k(t)$ можно представить таким образом:

$${\bf A} {\bf u} = -  {\bf b},$$

где ${\bf u} =  {\rm column}(u_1,\ldots,u_N)$, ${\bf b} = {\bf Q}^2 {\bf t}$, ${\bf b} ={\rm column} (f_1,\ldots,f_N)$ ${\bf t} ={\rm column}(\tau_1,\ldots,\tau_N)$, а матрица ${\bf A}={A_{ij}}$ имеет следующие элементы

$$A_{ij}(t) = \sum\limits_{k,m=1}^N C_{jmi}Q_{mk}\tau_k(t).$$
Обращая матрицу ${\bf A}$, находим в общем виде решение для

$${\bf u}(t) = -{\bf A}^{-1}(t){\bf b}(t).$$:
 

III.3.6. Пример

Рассмотрим систему, связанную с матричной алгеброй $GL_2$ с образующими, представленными единичной матрицей и матрицами Паули:
$$\hat{\sigma}_0=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right),~~\hat{\sigma}_1=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right),~~\hat{\sigma}_2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0\end{array}\right),~~\hat{\sigma}_3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right).$$ Матрицы $\hat{\sigma}_i$ удовлетворяют следующим соотношениям:
$$\hat{\sigma}_0\hat{\sigma}_{i}=\hat{\sigma}_{i}\hat{\sigma}_0=\hat{\sigma}_{i},~~,[\hat{\sigma}_0,\hat{\sigma}_{i}]=0,~~i=0,1,2,3$$
$$\hat{\sigma}_{\alpha}\hat{\sigma}_{\beta}=-\hat{\sigma}_{\beta}\hat{\sigma}_{\alpha}=i\sum\limits_{\gamma=1}^3\varepsilon_{\alpha \beta \gamma}\hat{\sigma}_{\gamma},~~~[\hat{\sigma}_{\alpha},\hat{\sigma}_{\beta}]=2i\sum\limits_{\gamma=1}^3\varepsilon_{\alpha \beta \gamma}\hat{\sigma}_{\gamma},~~\alpha,\beta,\gamma=1,2,3, ,\tag{3.21}\label{Eq21}$$

Рассмотрим функцию $\hat{T}$ вида: $$\hat{T}=\hat{\sigma}_0 \tau_0(t)+\hat{\sigma}_1 \tau_1(t)+\hat{\sigma}_2 \tau_2(t)+\hat{\sigma}_3 \tau_3(t), \tag{3.22}\label{Eq22}$$ которая удовлетворяет матричному уравнению:
$$\hat{T}_t=\hat{C}_0[\hat{x},[\hat{x},\hat{T}]], \tag{3.23}\label{Eq23}$$. В качестве элемента $\hat{x}$ рассмотрим матрицу следующего вида: $$\hat{x}=\xi_1\hat{\sigma}_1+\xi_2\hat{\sigma}_2+\xi_3\hat{\sigma}_3$$. В качестве матрицы $\hat{C}_0$ матрицу: $\hat{C}_0=c_0\hat{\sigma}_0$, где $c_0$ - некоторое комплексное число. В этом случае имеем:
$$[\hat{x},\hat{T}]=2i\sum\limits_{\alpha=1}^3[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]_{\alpha}\hat{\sigma}_{\alpha},$$
$$[\hat{x},[\hat{x},\hat{T}]]=-4\sum\limits_{\alpha=1}^3[\vec{\xi}\times[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]]_{\alpha}\hat{\sigma}_{\alpha}.$$ Здесь $\vec{\tau}=(\tau_1(t),\tau_2(t),\tau_3(t)),~\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3).$

Используя эти соотношения, находим связь между функциями $\vec{\tau}$ и $\vec{u}=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))$ в представлении $$\hat{U}=\hat{\sigma}_0 u_0(t)+\hat{\sigma}_1 u_1(t)+\hat{\sigma}_2 u_2(t)+\hat{\sigma}_3 u_3(t)$$  Эту связь в векторном виде можно представить так:
$$2[\vec{\xi}\times[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]]=[\vec{u}\times[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]]-i u_0[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]. \tag{3.24}\label{Eq24}$$ В покомпонентной записи это уравнение имеет вид:
$$2\Big(\vec{\xi}(\vec{\xi},\vec{\tau})-\vec{\tau}\vec{\xi}^2\Big)=\vec{\xi}(\vec{u},\vec{\tau})-\vec{\tau}(\vec{u},\vec{\xi})-iu_0[\vec{\xi}\times\vec{\tau}].$$
Отсюда находим:
$$u_0(t)=0,~~2(\vec{\xi},\vec{\tau})=(\vec{u},\vec{\tau}),~~2\vec{\xi}^2=(\vec{u},\vec{\xi})$$ Эти соотношения представляют собой подстановку типа Коула-Хопфа.

Представим уравнение $(\ref{Eq23})$ в покомпонентной форме. Имеем:
$$\dot{\tau}_0=0,~~\dot{\vec{\tau}}=-4c_0[\vec{\xi}\times[\vec{\xi}\times\vec{\tau}]]$$ или в покомпонентной записи:
$$\dot{\tau}_{\alpha}=-4c_0\Big(\xi_{\alpha}(\vec{\xi},\vec{\tau})-\tau_{\alpha}\vec{\xi}^2\Big).$$
Эта система легко интегрируется.

Вычислим теперь нелинейную систему относительно матриц $\hat{U}$ и $\hat{V}$. Используя соотношения $(\ref{Eq3})$, уравнение $(\ref{Eq23})$ приводится к виду: $$\hat{V}=c_0\hat{U}.$$ При этом матрица $\hat{Q}$ будет иметь такой вид: $$\hat{Q}=-c_0[\hat{x},\hat{U}]+c_0\hat{U}^2$$ Отсюда приходим к уравнению для матрицы $\hat{U}$: $$\hat{U}_t+ [-c_0[\hat{x},\hat{U}]+c_0\hat{U}^2,(\hat{U}+\hat{x})]=0.\tag{3.26}\label{Eq26}$$   Учитывая, что $$\hat{U}^2=\vec{u}^2\hat{\sigma}_0$$ и соотношения $(\ref{Eq21})$, последнее уравнение можно преобразовать к следующкму виду: $$\hat{U}_t-c_0[\hat{U},[\hat{U},\hat{x}]]+c_0[\hat{x},[\hat{x},\hat{U}]]=0$$ В векторном виде это уравнение принимает вид нелинейной динамической системы:
$$\dot{\vec{u}}-4c_0[\vec{u}\times[\vec{u}\times\vec{\xi}]]+4c_0[\vec{\xi}\times[\vec{\xi}\times\vec{u}]]=0$$ или в покомпонентном виде:
$$\dot{u}_{\alpha}-4c_0\Big(u_{\alpha}[(\vec{u},\vec{\xi})+\vec{\xi}^2]-\xi_{\alpha}[(\vec{u},\vec{\xi})+\vec{u}^2]\Big)=0.$$
 

III.3.7. Новая система дифференицальных соотношений

Как показывает анализ приведенных выше соотношений и примеров вычислений на ее основе в некоторых ситуациях получить полезные результаты оказывается затруднительным из-за возникающих ограничений, связанных с алгебраическим дифференцированием. Поэтому в рамках работ по проекту была разработана более простая и универсальная система базовых дифференциальных соотношений.

В качестве двух базовых соотношений для функции $\hat{T}$ рассмотрим следующие два уравнения:
$$\hat{T}_{t}=\hat{V}\hat{T},~~~\hat{T}_x=[\hat{x},\hat{T}]=\hat{U}\hat{T}.\tag{3.27}\label{Eq27}$$
Здесь сохраняются старые  обозначения. Отсюда следует:
$$\hat{T}_{tx}=(\hat{V}_x+\hat{V}\hat{U})\hat{T}=(\hat{U}_t+\hat{U}\hat{V})\hat{T}.$$
Отсюда получаем связь между функциями $\hat{V}$ и $\hat{U}$:
$$\hat{U}_t-\hat{V}_x+[\hat{U},\hat{V}]=0.$$
Все остальные общие построения остаются неизменными. Это уравнение по структуре совпадает с уравнением $(\ref{Eq6})$, но в него входят более простые матричные функции. Это для дискретных систем оказывается очень существенным. В частности, это расширяет классы уравнений, которые интегрируются в рамках этой схемы. 

Например, при построении уравнений на алгебре $GL_2$ система подстановк $(\ref{Eq27})$ вносит меньше ограничений на функции, чем система подстановок $(\ref{Eq3})$. Полагая, как и в предыдущем примере,  $$\hat{T}=\hat{\sigma}_0 \tau_0(t)+\hat{\sigma}_1 \tau_1(t)+\hat{\sigma}_2 \tau_2(t)+\hat{\sigma}_3 \tau_3(t)$$
$$\hat{U}=\hat{\sigma}_0 u_0(t)+\hat{\sigma}_1 u_1(t)+\hat{\sigma}_2 u_2(t)+\hat{\sigma}_3 u_3(t)$$ $$\hat{V}=\hat{\sigma}_0 v_0(t)+\hat{\sigma}_1 v_1(t)+\hat{\sigma}_2 v_2(t)+\hat{\sigma}_3 v_3(t)$$, получаем в векторном виде:
$$\dot{\vec{\tau}}=i[\vec{v},\vec{\tau}]+\vec{v}\tau_0+\vec{\tau}v_0,~~\dot{\tau}_0=(\vec{v},\vec{\tau})+v_0\tau_0$$ $$[\vec{x},\vec{\tau}]=i[\vec{u},\vec{\tau}]+\vec{u}\tau_0+\vec{\tau}u_0,~~0=(\vec{u},\vec{\tau})+u_0\tau_0$$
Это существенно отличается от рассмотренных в примере раздела 3.6 соотношений. Отличается и запись получаемых уравнений. Уравнение  $(\ref{Eq23})$  приводит теперь к следующей связи между матрицами $\hat{V}$ и $\hat{U}$:
$$\hat{V}=c_0[\hat{x},\hat{U}]+c_0\hat{U}^2.$$
Подставляя это соотношение в уравнение $(\ref{Eq27})$, находим:
$$\hat{U}_t-c_0[\hat{x},[\hat{x},\hat{U}]+\hat{U}^2]+c_0[\hat{U},[\hat{x},\hat{U}]+\hat{U}^2]=0.$$
Это уравнение преобразуется к виду
$$\hat{U}_t-c_0[\hat{x},[\hat{x},\hat{U}]]-c_0[\hat{x},\hat{U}^2]+c_0[\hat{U},[\hat{x},\hat{U}]]=0.$$
В векторном виде это уравнение приводится к такой форме:
$$\dot{\vec{u}}+4c_0[\vec{x}\times[\vec{x}\times\vec{u}]]-4c_0[\vec{u}\times[\vec{x}\times\vec{u}]], \dot{u}_0=0.$$