Известно, что элементы орбиты Луны подвержены значительным периодическим возмущениям со стороны Солнца. Возмущающей можно считать и силу инерции вращения Земли вокруг Солнца. Другими словами, Луна движется в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вокруг Солнца.  Понятно, что траектория тела в покоящейся системе отсчета будет отличаться от траектории во вращающейся системе. Измеряя расстояние от Земли до Луны с равными интервалами времени, можно получить интересную зависимость, аналитический вид которой был приведен мной в работе [1]:

         (1)

            Интересно сравнить (1) с невозмущенным кеплеровским эллипсом. Однако здесь мы сталкиваемся с непростой задачей выражения r(t) для кеплеровского эллипса, задаваемого исключительно параметрически.

Например так [2]

Так [3]:

Или так [4]

Параметр пропорциональности в уравнении Кеплера ни что иное, как величина обратная среднему движению, обозначаемому обычно буквой n (рад/с). Задача, таким образом, сводится  к выражению эксцентрической аномалии Е через t и подстановку ее в формулу для r(E). Для этого придется решать трансцендентное уравнение для каждого значения t или воспользоваться приближенными формулами. Для малых эксцентриситетов (а у всех орбит планет солнечной системы они невелики) можно попробовать подстановку

         (2)

Тогда

   (3)

                                          (3')

памятуя, что для малого e   sin(e sin(nt))~e sin(nt), а sin²(nt) = ½ - cos(2nt)/2

Подтверждение правильности этих выкладок можно найти у П.С.Лапласа в [5].

Итак, для любого невозмущенного кеплеровского эллипса разложение в ряд Фурье функции r(t) даст нам R0=a (1+ e²/2), амплитуду первой гармоники – ae, и амплитуду второй гармоники ae²/2. Для Луны а=384400 e=0.055, R0=384981, ae=21142, ae²/2=581,

что вполне соответствует первым двум членам в формуле (1). Два последних члена формулы отвечают за возмущение кеплеровского эллипса, природу которого еще предстоит описать стройными формулами, не вводя возмущающей функции, если это возможно.

1. http://www.spacephys.ru/rasstoyanie-ot-zemli-do-luny-tri-garmoniki-tri-sily

2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9

3. Суханов А.А. Астродинамика. Серия «Механика, управление и информатика»
М: Институт космических исследований РАН, 2010. 202 с. http://www.iki.rssi.ru/books/2010sukhanov.pdf

4. Холшевников К В, Титов В Б. Задача двух тел
Уч. пособие. С-Пб: изд-во С-Пб университета, 2007. 180 с. http://www.astro.spbu.ru/sites/default/files/TwoBody

5. Marquis de la Place. Mécanique céleste. Hillard, Gray, Little, and Wilkins, 1829.