Задача двух тел в теории движения Луны.

      При изучении небесной механики неизбежно возникает специфический вопрос: какое влияние на орбитальные характеристики оказывает масса тела? Для очень малых тел, движущихся вокруг большого центрального тела, их масса не имеет значения. Зато по периоду их обращения и большой полуоси их орбиты можно определить массу большого тела.

     Не так обстоят дела с телами, масса которых хоть сколько-нибудь сравнима с массой центрального тела. И в Солнечной системе такое тело есть. Это Луна. Она уникальна. В последние 400 лет именитые ученые оценивали ее массу значениями от 1/40 до 1/81 массы Земли.

     Оказывается, относительное перемещение взаимно притягивающихся тел в создаваемом ими силовом поле можно описать уравнением  движения для тела с массой, равной среднему гармоническому их масс¹. При этом период обращения будет зависеть от суммы масс этих тел².

     Давайте посмотрим, откуда берется это среднее гармоническое.

     Уравнения движения для нашей системы можно получить с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Для этого нам потребуется найти кинетическую Т и потенциальную энергию U для системы материальных точек m₁,  m₂ (Рис. 1), связанных гравитационным взаимодействием. 

    Пусть r=r₁+r₂ . Из определения центра масс (ц.м.) следует, что :

     Радиальные скорости равны соответственно:

     Запишем моменты инерции тел относительно центра масс: 

     Момент инерции всей системы равен сумме моментов инерции входящих в нее тел:

   Перед квадратом радиуса стоит половина среднего гармонического наших масс. Обозначим ее µ.

     Кинетическая энергия первого тела складывается из двух компонент – поступательной и вращательной:

     То же можно сказать и о втором теле:

     Полная кинетическая энергия системы двух тел равна:

     Потенциальная энергия системы равна:

     Запишем лагранжиан для нашей системы:

     Зависимость от времени координаты  r  получим из уравнения Лагранжа:

     Дифференцируя действие, получим:

     Сокращая на µ равенство (11), получим уравнение для расстояния между центрами тел:

     Закон сохранения момента импульса позволяет нам сделать подстановку:

где I=µr²- момент инерции пары тел.

     И в итоге уравнение (12) примет вид:

     Для сравнения стоит взглянуть на аналогичное уравнение движения тела пренебрежимо малой массы:

     Здесь L₀  это момент импульса тела пренебрежимо малой массы при его движении вокруг массивного тела, который равен:

где  Vотн- скорость второго (малого) тела относительно центра первого.

     Момент импульса нашей системы  равен: 

     Выразим его через параметры второго тела, используя соотношения:

и с учетом (1) для начального момента времени, когда оба тела проходят перицентр своих траекторий, получим:

     Обратим внимание, что оба тела движутся относительно центра масс, и скорость второго тела относительно первого равна: 

или, вводя коэффициент alpha=(m₁+m₂)/m₁, который всегда больше единицы:

     Откуда следует, что , L=L₀/alpha т.е. суммарный момент импульса тел сравнимой массы, вращающихся около центра масс, меньше, чем момент импульса тела пренебрежимо малой массы, вращающегося около массивного тела при условии, что в перицентре начальные скорости меньшего тела относительно центра большего были равны.

     Нетрудно показать, что 

     Это соотношение есть не что иное, как постоянная площадей: 

     Это означает, что движение тела значительной массы относительно центра большего тела происходит точно по той же орбите, по которой двигалось бы тело пренебрежимо малой массы в поле тела с массой, равной сумме масс пары тел.

     Мы доказали, что суммарный момент импульса тел в случае, когда массой меньшего тела нельзя пренебрегать, меньше момента импульса тела пренебрежимо малой массы, не смотря на равенство их относительных скоростей в перицентре. То же можно сказать и о полной энергии системы, а, следовательно, и о большой полуоси эллиптической орбиты, и о периоде обращения (Рис. 2 и Рис. 3). Все значения параметров на этих рисунках нормированы к таковым при условии, что масса второго тела пренебрежимо мала.

     Обозначим теперь массу большего тела M, а массу меньшего тела m. Фокальный параметр в таком случае равен:

Эксцентриситет:

Рис. 2.

     Большая полуось орбиты равна:

     Период обращения:

     Этой формулой можно попробовать воспользоваться для оценки суммы масс Земли и Луны, а следовательно, отношения массы Луны к массе Земли, поскольку масса Земли хорошо известна. Она равна 5,9726 10²⁴ кг.

Рис. 3.

     Если в качестве большой полуоси орбиты мы возьмем среднее расстояние между центрами Земли и Луны за большой промежуток времени, а в качестве периода обращения аномалистический период, то получим некоторую оценку суммы масс Земли и Луны.

     Любой исследователь может взять эфемериды Луны с сайта http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi. Мне стали доступны временные ряды расстояния Земля-Луна за 20 лет с 2000 по 2019 год. Арифметическое среднее для расстояния оказалось равным 385050 км, а аномалистический период (промежуток времени между перигеями или апогеями) 27,55 средних солнечных суток.         При подстановке этих значений в следующую формулу:

получается, что сумма масс  Земли и Луны меньше массы Земли. Абсурд.

     Может быть, стоит взять в расчет не аномалистический период, а сидерический, который равен 27,32 сут? Тогда отношение массы Земли к массе Луны составит 64,98. Опять не то.

     Может быть, среднее расстояние между Землей и Луной нужно считать иначе? Среднее геоцентрическое расстояние между Землей и Луной по радиолокационным измерениям³ равно 384400,2±1.1 км. В этом случае получается, что Земля тяжелее Луны в 97.49 раз.

     Многое о движении Луны может рассказать скорость прохождения ею перигея. Воспользуемся все теми же эфемеридами с сайта JPL. 

     В очень грубом приближении из данных таблицы мы можем оценить  среднюю угловую скорость Луны  при прохождении  ею участка орбиты, содержащего точку перигея, и найти тангенциальную скорость в перигее:

     Подставляя числовые значения, получим V_p=964м/с.

     Имея такую скорость на расстоянии 369400 км от центра Земли, в приближении задачи двух тел Луна обращалась бы с периодом в 21 сутки и имела перигей на высоте 273500 км. Однако Солнце помогает ей летать гораздо выше. Но это уже другая история, а именно ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ.

Источники информации

1.    В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, “Математические аспекты классической и небесной механики”,  Динамические системы – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления,3, ВИНИТИ, М., 1985, 5–290

2.    Крылов, Алексей Николаевич. Собрание трудов академика А.Н. Крылова. Т. 7. Ис. Ньютон. Математические начала натуральной философии / Пер. с лат. с прим. и поясн. А.Н. Крылова. - М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1936. - 696 с.

3.    Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В.К. Абалакин, Е.П. Аксенов, Е.А. Гребеников, В.Г. Демин, Ю.А. Рябов ; под ред. Г.Н. Дубошина. М.: Наука, 1976. 864 с.