В нынешнем году в математике две круглые и связанные между собой даты -100 лет гипотезе Пуанкаре и  10 лет доказательству Перельмана. Мой рассказ посвящен этим двум датам. Тем более и премьер-министр считает приоритетным развитие математики.

 Часть первая. В топологическом море.

Оттолкнемся от твердого берега здравого смысла и отправимся в океан топологии.

А почему необходимо отойти от здравого смысла? А что делать с ним в топологическом океане? Посмотрите сами. Что общего с точки зрения здравого смысла у закрытого амбарного замка и водопроводной трубы? А с точки зрения топологии они неразличимы. Говоря топологически, - гомеоморфные. Это два тора. То есть дырка посередине останется.   И чайник, закрытый крышкой, с футбольным мячом тоже неразличимы. Это две сферы. Впрочем, сами топологи считают, что все просто. Сфера односвязная. Накинув нить на поверхность сферы (математик скажет: - проведя кривую),  путем топологических преобразований можно  преобразовать (связать) в одну точку. Но с тором это не получится.

Получается, что если поверхность односвязная, то ее можно преобразовать в сферу. Но это в привычном трёхмерном мире.  А великий математик Анри Пуанкаре задумался о том, а как это будет в четырехмерном мире? И предположил, что так же . То есть каждая односвязная трехмерная поверхность геоморфна ( преобразуема ) в трехмерную сферу. Это и есть теорема Пуанкаре в моем изложении. Как выглядит трехмерная сфера, являющаяся поверхностью четырехмерного шара? Я не знаю, как выглядит четырехмерный шар! И думаю, что никто не знает. Однако математиков, как и художников очень привлекает красота. А с  точки зрения математиков, теорема Пуанкаре выглядит необыкновенно красиво. Элегантно и неприступно.

Затем Уильям Терстон выдвинул теорию, которая описывала все возможные трехмерные разнообразия ( и четырёхмерное безобразие Пуанкаре). Теорема Пуанкаре стала частным случаем теории Терстона. Задача была поставлена, но решение никак не давалось. Теорема Пуанкаре изводила математиков, как опытная кокетка. Она с огромным трудом доказывалась и для пяти, и для семи, и для шести измерений. Но в первоначальном варианте – для трехмерной сферы, в самом главном, не сдавалась.

Давайте отдохнем от топологических рассуждений. Встретились как то раз американец, китаец и россиянин. Это не начало анекдота. Это продолжение истории о теореме Пуанкаре – Перельмана. Американцем был Ричард Гамильтон.  Бедняга не слушал нашего великого американоведа – Михаила Задорнова. И поэтому не был похож на тупого, жирного, жадного американца. По спортивному подтянутый, ценитель женщин  и  юмора.  Начальства не боится.

И умный, очень умный. Несмотря на то, что математикой он никогда не занимался с утра до вечера ( находились вещи более приятные),  он - ведущий специалист в мире по «потокам Ричи». Не потому, что жадный. Григорий Перельман впоследствии говорил что Ричард Гамильтон, не задумываясь, делился с ним, в том числе неопубликованными знаниями. Видимо, возиться не хотел. Китайцем был другой великий математик Яу Шин-Тун . Единственный китаец, имеющий медаль Филдса, аналог Нобелевки для математиков. Совсем другой и человек, и математик. Упорен, имеет большие связи в руководстве Китая. Учитель многих, в том числе, очень талантливых, китайских математиков. Организатор, шоумен, способен круглыми сутками работать над решением проблемы. Человек жесткий, но если надо, способен очаровать кого угодно.

И Григорий Перельман. На их фоне выглядит человеком "не от мира сего". В потертом пиджачке, с длинными, нестриженными ногтями. А встретились они, идя наперегонки к решению теоремы Пуанкаре. Почему не решил задачу Ричард Гамильтон? Ну это понятно. Это потребовало от него полного напряжения сил. Американец не захотел перенапрягаться. Впрочем, никто не отрицал никогда, что он сыграл огромную роль в доказательстве теоремы Пуанкаре. И премии за это он получал. А вот с китайцем сложнее. Яу шел к победе упорно и настойчиво. У него не получается? Найдем талантливого ученика. Не справляемся. Подключим еще одного. Благо в миллиардном Китае Яу может выбирать лучших из лучших. Кто откажется жить и работать в Америке и пользоваться почетом на Родине? Для решения задачи, поставленной Пуанкаре, нужны потоки Ричи? Кто лучше всех в этом деле? Ричард Гамильтон? Очаруем! Свозим в Китай, сравним его с Мао. При этом Яу был готов на все, лишь бы часть приоритета была за Китаем. В 2006 поддерживая приоритет своих учеников перед Перельманом, он перегнул палку. Но поставил на кон свою репутацию. И проиграл. Но почему!? Чтобы осветить простое в своей гениальности решение, благодаря которому Григорий Перельман и выиграл у этой китайско-американской команды, необходимо вернуться в топологию.

Возьмем обычный небольшой заварочный чайник. И будем преобразовывать его в сферу. Но усложним задачу. При преобразовании он будет одновременно менять  отражательную способность своей поверхности. Предположим что в результате вторжения в топологические уравнения уравнений из оптики у носика чайника возникла сингулярность. То есть, говоря неформальным языком, носик чайника стал бесконечно большим. Как это выглядит? Не представляемо.  Маленький чайник, но носик у него больше не только Солнца, но и всей видимой Вселенной.  Главное, что с таким чайником нельзя проводить операции. Имеется ввиду не то, что если мы заварили чай на Земле, то пить его нам придется у самой дальней черной дыры Вселенной. Это означает, что и увеличить, и уменьшить бесконечность сложно. Соответственно, продолжить преобразование чайника в правильную сферу тоже не получится.

А при преобразованиях, которые требовались для доказательства теоремы Пуанкаре, сингулярности вылезали постоянно. Команда Яу снова и снова искала новые варианты потоков Ричи, чтобы обойти проблему. Как быть, если у чайника бесконечно большой носик? Ни гостей пригласить, ни теорему доказать. «Отрезать!» предложил сам себе Перельман. И создал новый вид потоков Ричи. Потоки Ричи с хирургией. Быстро сказка сказывается, да небыстро дело делается. Даже проверка правильности доказательства Перельмана заняло у математиков несколько лет. Поскольку Перельман доказал и теорию  Тестона, частным случаем которой является теорема Пуанкаре.

  Применение математических достижений Г. Перельмана в физике.

Возникает вопрос : « А так ли важны эти мало представимые топологические достижения ?»

Применений у доказательства теоремы Пуанкаре-Перельмана с использованием потоков Ричи с хирургией, как частного случая теории Терстона, конечно, гораздо больше, чем представляется мне. Но все таки я решусь предположить три таких применения.

1.      С точки зрения понимания космоса.

«…стандартная модель приводит к первичной особенности – Большому взрыву. Этот вывод был назван Джоном Уиллером «величайшим кризисом физики». Иван Пригожин. Первичные необратимые процессы. Впрочем, этот кризис состоит из множества независимых кризисов, каждый из которых препятствует построению непротиворечивой картины возникновения видимой Вселенной из точки Большого взрыва. Одной из важнейших проблем было несоответствие математических моделей расширения  после Большого взрыва и наблюдаемой Вселенной. Понятно, что расширение с такой скоростью такой массы вещества за столь небольшое время, которое связано с гипотезой Большого взрыва, не может происходить без определенных неравномерностей, которые с течением процесса будут только нарастать. Однако астрономы не видят таких неравномерностей. Видимая вселенная, начиная с размерности 100 Мпс, однородна по плотности вещества. И изотропна : то есть по всем направлениям имеет одинаковые свойства. Однако применение математического аппарата созданного Г.Перельманом  - « потоки Ричи с хирургией» позволяет математически обосновать данный процесс.

2.      «Теория всего» в ее «суперструнном» исполнении.

Sol, как-то раз возражая мне, заявил что выступление против «Теории всего» антинаучно. Тем более интересно, что без теоремы Пуанкаре-Перельмана теория суперструн повисает в воздухе. Дело в том, что данная теория, как и ее развитие «М-теория», предполагают наличие подпространств. Без полного доказательства, сделанного Г. Перельманом, было топологически неясно, как происходит переход из нашего мира в эти многочисленные измерения ( в разных вариантах предполагается 10 или 11 измерений).

3.      Проблема «Кота Шредингера»

Согласно положениям квантовой механики, мы живем в вероятностном мире. Несмотря на ожесточенные споры, родоначальниками которого были Альберт Эйнштейн и Нильс Бор, проблема до сих пор стоит на повестке дня. Наиболее образно ее выразил Э. Шредингер  в своем самом известном квантовом объекте «Кот Шредингера».  Помимо прочего, непонятно, как этот процесс происходит пространственно, то есть с точки зрения топологии. При реализации квантовых состояний в макромире происходит взаимодействие огромного количества систем, соединенных между собой без разрывов геометрической целостности. Здесь очень важны «мелочи» топологического процесса, которые нельзя объяснить без понимания теоремы Пуанкаре-Перельмана. Необходимо еще отметить, что особенно важны именно решения, найденные Г. Перельманом. Даже если кто-то и найдет более простое и изящное решение теоремы, все равно для физики будет важным решения с использованием «потоков Ричи с хирургией».