Рис. 1.
Приливная эволюция системы Земля-Луна, происходит по причине передачи момента импульса быстро вращающейся Земли орбитальному движению Луны посредством гравитационно-приливного взаимодействия. Приливный горб, деформирующий поверхность Земли оседает не сразу, выходя из подлунной точки, а некоторое время тянет Луну за собой, разгоняя ее на орбите и притормаживая вращение Земли.
Рассчитаем момент импульса системы Земля-Луна (СЗЛ), полагая, что оба тела движутся по круговым орбитам, ось вращения Земли перпендикулярна плоскости ее орбиты. Луне принадлежит часть момента импульса:
$L_m=M_m (R-d)^2 \Omega$, (1)
где $M_m$ - масса Луны, $R$- расстояние между центрами Земли и Луны, $d$ - расстояние от центра Земли до барицентра СЗЛ, равное
$d=\frac{M_m}{M_m+M_e}R$, (2)
$\Omega$ - угловая скорость вращения СЗЛ вокруг ее барицентра, которая равна
$\Omega=G^{1/2}(M_e+M_m)^{1/2} R^{-3/2}$, (3)
где $M_e$ - масса Земли, $G$ - гравитационная постоянная.
В итоге, момент импульса Луны в ее движении по орбите равен:
$L_m=k_1 R^{1/2}$, (4)
где
$k_1=G^{1/2}(M_e+M_m)^{1/2}M_m \frac{M_e^2}{(M_e+M_m)^2}$ (5)
Следовательно
$ \dot{L}_m =\frac{1}{2}k_1R^{-1/2}\dot{R}$ (6)
Поскольку суммарный момент импульса СЗЛ сохраняется, изменение момента импульса Луны зависит от приливного момента, действующего на Землю, взятого с обратным знаком:
$\dot{L}_m=-M$ (7)
В работе [1] было показано, что приливный момент, тормозит вращение Земли:
$M=-\frac{3 G M_m m r^2\sin2\delta}{R^3}$, (8)
где $m$ - точечная масса, сосредоточенная в вершине приливного горба, создающая момент, равный реально действующему, $r$ - радиус Земли, $ \delta $ - смещение приливного горба относительно подлунной точки.
В результате приливного взаимодействия уровенная поверхность Земли принимает форму эллипсоида вращения[2], полуоси которого равны:
$a=r\left(1+\frac{M_m}{M_e}\frac{r^3}{R^3}\right)$
$b=r\left(1-\frac{M_m}{M_e}\frac{r^3}{2R^3}\right)$ (9)
Результирующий приливный момент определяется массой, находящейся за пределами сферы радиуса $b$. Масса приливного горба, таким образом, равна
$m^*=\frac{1}{2}\rho\Delta V$, (10)
где $\rho$ - плотность вещества приливного горба, $\Delta V$ - разность объемов приливного эллипсоида и сферы радиуса $b$.
Точечная масса, сосредоточенная в вершине приливного горба, создающая момент, равный реально действующему, очевидно меньше массы всего приливного горба и равна:
$m=m^* k_m$, (11)
где $k_m <1$ - понижающий коэффициент.
Объем вещества приливных горбов равен
$\Delta V=\frac{4}{3}\pi b^2 (a-b)$ (12)
Величина $\frac{M_m}{M_e}\frac{r^3}{R^3}$ крайне мала, поэтому при вычислении объема $\Delta V$ членами, содержащими данную величину в степени выше первой, можно пренебречь.
Тогда
$\Delta V=2\pi\frac{M_m}{M_e}\frac{r^6}{R^3}$, (13)
и, соответственно,
$m=\pi\rho\frac{M_m}{M_e}\frac{r^6}{R^3}k_m$ (14)
Введем для краткости обозначения
$k_2=\pi\rho\frac{M_m}{M_e}{r^6}$ (15)
и
$k_3=3G M_m r^2 \sin2\delta$ (16)
Тогда выражение для приливного момента предельно упростится:
$M=-\frac{k_2 k_3 k_m}{R^6}$ (17)
Далее нам следует оценить величину коэффициента $k_m$.
В работе [1] показано, что проекция приливного момента на ось собственного вращения тела в форме эллипсоида равна
$M_z=\frac{3\mu}{R^3}(B_1-A_1)a_{11}a_{12}$, (18)
где $\mu$- гравитационный параметр возмущающего тела, $B_1$ и $A_1$ - осевые моменты инерции возмущаемого (центрального) тела, принявшего форму эллипсоида вращения в результате приливного взаимодействия, $ a_{11}$ и $ a_{12}$ - направляющие косинусы, определяющие положение радиус вектора, соединяющего центры тел, в системе координат, связанной с центральным телом,
$a_{11}=\cos\psi'$
$a_{12}=-\sin\psi'\cos\theta$ (19)
Не смотря на то, что возмущающее тело обращается вокруг центрального с угловой скоростью $\Omega$, угол прецессии $\psi'=\psi-\Omega t=\delta$ остается неизменным, ведь приливный горб тоже движется, чуть опережая возмущающее тело.
В нашем случае угол наклона оси вращения Земли к плоскости ее орбиты $\theta$ равен нулю.
Следовательно
$M_z=-\frac{3\mu}{2R^3}(B_1-A_1)\sin2\delta$, (20)
Знак минус в выражении (20) появился, потому что приливный горб опережает подлунную точку и замедляет вращение Земли.
Считая Землю однородным эллипсоидом вращения, запишем ее осевые моменты инерции:
$A_1=\frac{M_e}{5}(b^2+c^2)$
$B_1=\frac{M_e}{5}(a^2+c^2)$ (21)
Тогда
$B_1-A_1=\frac{M_e}{5}(a^2-b^2)$ (22)
Как отмечалось выше, величина $\frac{M_m}{M_e}\frac{r^3}{R^3}$ крайне мала, поэтому при вычислении разности квадратов полуосей эллипсоида вращения мы отбросим слагаемые, содержащие данную величину в степени выше первой и получим, что
$a^2-b^2=3\frac{M_m}{M_e}\frac{r^5}{R^3}$ (23)
и, соответственно,
$M_z=-\frac{9}{10}\frac{ G M_m^2 r^5\sin2\delta}{R^6}$ (24)
Приравнивая выражения (24) и (17) найдем что
$k_m=\frac{9 M_e}{30\pi \rho r^3}$ (25)
Если считать Землю однородным телом со средней плотностью 5500 кг/м3, получим $k_m=0.4$.
В действительности, приливный момент определяется тем веществом, которое находится за пределами сферы радиуса $b$, а его плотность может варьироваться, в зависимости от местности по которой проходит приливный горб – океан или суша. Как показывает опыт, океанские приливные горбы не следуют строго перед подлунной точкой, поскольку водная оболочка совершенно иначе реагирует на приливные силы Луны, нежели твердая поверхность. Поэтому будем в расчет принимать только твердое вещество поверхности Земли плотностью 2300 кг/м3.
Приравнивая правые части выражений (6) и (17) получим дифференциальное уравнение первого порядка:
$\dot{R}=k_4 R^{-11/2}$ (26)
где $k_4=\frac{2 k_2 k_3 k_m}{k_1}$
Введем параметр $\alpha=\frac{M_m}{M_e}$ - отношение масс Луны и Земли, и выразим коэффициенты $k_1$ - $k_4$ через этот параметр:
$k_1=G^{1/2} M_e^{3/2}\frac{\alpha}{(1+\alpha)^{3/2}}$ (27)
$k_2=\pi r^6 \rho \alpha$ (28)
$k_3=3GM_e \alpha r^2 \sin2\delta $ (29)
$k_4=6 k_m \pi r^8 G^{1/2}Me^{-1/2}\alpha (1+\alpha)^{3/2}\rho\sin2\delta $ (30)
Теперь можно перейти к решению дифференциального уравнения (26).
Допустим, что плотность поверхности Земли равна 2300 кг/м3, а угол смещения приливного горба не зависит от угловой скорости вращения Земли и равен 1°.
Результат расчета представлен на Рис. 2. Шкала времени в миллиардах лет. $R0$ - расстояние от Земли до Луны в наше время.
Рис. 2.
Таким образом, Луне потребовалось 4.5 миллиарда лет, чтобы с расстояния в один радиус Земли удалиться на 384 400 км.
Рис. 3.
На самом деле, никто не знает, на какое угловое расстояние смещен приливный горб. Быть может, $\delta=2^{\circ}$. Тогда Луне потребовалось два с небольшим миллиарда лет, чтобы преодолеть известное ныне расстояние (Рис. 3). Согласитесь, что модель слишком чувствительна к плохо поддающемуся оценке параметру $\delta$. Кроме того, смещение приливного горба зависит от угловой скорости вращения Земли. Но это уже другая история.
Рис. 4.
Взглянув на уравнение (26) нетрудно понять, что коэффициент $k_4$ можно найти и иным образом. Скорость удаления Луны в настоящее время известна, как и расстояние до нее. Остается разделить одно на другое и получить:
$k_4=2.086\cdot 10^{38}$ (31)
Подставим это значение в уравнение (26). Теперь оказывается, что Луне потребовалось всего 1.5 млрд. лет, чтобы, отделившись от Земли, добраться до ее сегодняшнего положения (Рис. 4). Парадокс.
Источники информации.
- http://www.spacephys.ru/gravitatsionno-prilivnoe-vzaimodeistvie-zemli-i-luny-uvelichivaet-naklon-zemnoi-osi
- http://www.astronet.ru/db/msg/1169697/node25.html
- Ingus's блог
- Войдите на сайт для отправки комментариев
- 4060 просмотров