Результаты в развернутой форме.

I. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа

I.1  Подстановка Коула-Хопфа

Подстановка Коула-Хопфа я вляется специальным методом построения точных решений уравнения Бюргерса:

$$u_t+uu_x=\nu u_{xx}, \hspace{2cm} (1.1)$$

которое представляет собой уравнение одномерного течения несжимаемой вязкой жидкости при отсутствие градиента давления и других внешних сил. Здесь $u(x,t)$ - скорость потока в точке с координатой $x$ в момент времени $t$, a $\nu$  - коэффициент кинематической вязкости. Коул и Хопф независимо показали, что функция $\phi(x,t)$, связанная с функцией $u(x,t)$ соотношением:

$$u(x,t) = -2\nu \frac{\partial \ln \phi}{\partial x}, \hspace{2cm} (1.2)$$

 удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности:

$$\phi_t=\nu\phi_{xx}. \hspace{2cm} (1.3)$$                                                            

Пскольку решения последнего уравнения  строятся простым спообом, то из них легко построить и решения уравнения Бюргерса. В этом и состоит метод подстановок Коула-Хопфа.

I.2. Уравнение переноса температуры

Идея метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа основывается на следующем наблюдении.

Рассмотрим задачу о перемещении в одномерном пространстве точек с заданной температурой $T$ в случае, если  изменения температуры описываются уравнением теплопровдности простейшего вида:

$$T_t= k T_{xx}, \hspace{2cm} (2.1)$$                                                                   

где $k$ - коэффициент теплопроводности.  Пусть $T(x,t)$ - некотрое решение уравнения темпопроводности (2.1). Тогда закон перемещения

$$ x = x(t;T_0) \hspace{2cm} (2.2)$$

в пространстве точки, в которой  температура равна заданному значению $T_0$, можно записать в виде неявного уравнения:

$$T(x(t).t)=T_0. \hspace{2cm} (2.3)$$

Дифференцируя последнее уравнение по времени, находим:

$$\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{dx}{dt}\frac{\partial T}{\partial x}=0,$$

где $V(t;T_0)=dx/dt$ - скорость перемещения точки с заданной температурой. Очевидно, что это соотношение имеет одинаковый вид для любых допустимых значений $T_0$ температуры. Поэтому в каждый момент времени в каждой точке пространства уравнение 

$$\frac{\partial T}{\partial t}+V(x,t)\frac{\partial T}{\partial x}=0 \hspace{2cm} (2.4)$$

описывает скорость $V(x,t)$ движения точки со значением $T(x,t)$ температуры, которое оно имеет в этой точки в данный момент времени. Поэтому уравнение (2.4) можно назвать уравнением переноса температуры. С точки зрения гидродинамики температура в таком подходе играет роль лагранжева маркера.

Поставим такой вопрос: можно ли указать уравнение для скорости переноса $V(x,t)$, универсальное для всех решений уравнения (2.1)?

Ответ на этот вопрос был дан в работе [Ur]. Что бы воспроизвести этот ответ рассмотрим совместно   с (2.1) и (2.4) некоторые дифференциальные следствия этих уравнений. Именно, рассмотрим следующие пять соотношений:

$$T_{tx}=k T_{xxx},$$

$$T_{tt}=k T_{xxt},$$

$$T_{tx}+V_xT_{x}+VT_{xx}=0, \hspace{2cm} (2.5)$$

$$T_{tt}+V_t T_{x}+VT_{xt}=0,$$

$$T_{txx}+2V_xT_{xx}+V_{xx}T_{x}+VT_{xxx}=0$$

Простой проверкой убеждаемся, что совокупность из семи уравнений (2.1), (2.4) и (2.5) представляют собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно семи первых производных функции $T$, т.е. величин $T_x,T_t,T_{xx},T_{xt},T_{tt},T_{xxx},T_{xxt}$. В силу этого для того, что бы существовали не тривиальные (отличные от нуля) решения этой системы, необходимо и достаточно, что бы определитель этой системы был равен нулю. Вычисляя определитель этой системы размерности 7, находим условие существования такого решения в виде уравнения:

$$V_t+2VV_x=kV_{xx}, \hspace{2cm} (2.6)$$

которое по сути совпадает с уравнением Бюргерса (1,1) при условии $2V=u$ и $k=\nu$. Уравнение (2.6) и есть уравнение для скорсти переноса температуры в пространстве, форма которого  не зависит от выбранного решения уравнения теплопроводности (2.1). При этом соотношение (2.4) играет по сути роль подстановки Коула-Хопфа.

I.3. Обобщенные подстановки Коула-Хопфа

Обобщение этой схемы строится следующим образом:

Рассмотрим вместо уравнения (2.1) для функции $T(x,t)$ уравнение следующего вида:

$$T_{xx}+ U(x,t)T_{x}=0, \hspace{2cm} (3.1)$$

которое содержит вспомогательную функцию $U(x,t)$. Если теперь использовать в дополнение к этому уравнению те же оставшиеся уравнения (2.4) и (2.5), что и вслучае, рассмотренном  выше, то мы опять получим линейную алгебраическую однородную систему из семи уравнений относительно тех же семи производных функции $T$. Вычисляя ее определитель, находим, что теперь условием совместности новой системы будет уравнение следующего вида:

$$U_{t}+ \frac{\partial}{\partial x}\Big(U(x,t)V(x,t)\Big)=V_{xx}, \hspace{2cm} (3.2)$$

которое связывает две функции $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Это означает, что для произвольной функции $T(x,t)$  функции $U(x,t)$ и $V(x,t)$, заданные соотношениями (3.1) и (2.4), связаны одним универсальным соотношением (3.2). 

Важным в этом обобщении является то, что по сравнению с первоначальной схемой, в новом варианте появляется дополнительная произвольная функция. Это позволяет построить общую схему построения нелинейных уравнений, для которых уравнения (2.4) и (3.1) являются обобщенными подстановками типа Коула-Хопфа.   Идея состоит в том, что произвольность функции $T(x,t)$ позволяет в общую схему включать любое дополнительное линейное (или интегрируемое) уравнения для функции $T(x,t)$, которое в результате подстановок (2.4) и (3.1) превращается в уравнение для функций $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Такое уравнение совместно с (3.2) и дает новую интегрируемую систему уравнений  для $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Это оказывается возможным, поскольку из уравнений (2.4) и (3.1) можно получить все возможные дифференциальные следствия, которые можно записать в следующем виде:

$$T^{[n,m]}=A^{(n.m)}(U,V)T_x. \hspace{2cm} (3.3)$$

Здесь

$$T^{[n,m]}=\frac{\partial^{n+m} T}{\partial x^n \partial t^m},$$

$A^{(n.m)}(U,V)$ - дифференциальные полиномы от $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Эти полиномы могут быть расчитатны с помощью следующих рекуррентных соотноршений:

$$A^{(n+1,m)}(U,V) = \frac{\partial}{\partial x}A^{(n,m)}(U,V) - A^{(n.m)}(U,V)U$$

$$A^{(n,m+1)}(U,V) = \frac{\partial}{\partial t}A^{(n,m)}(U,V) - A^{(n.m)}(U,V)Q,$$

где $Q=V_x-UV$, $A^{(1,0)}=1,~~A^{(0,1)}=-V,~~A^{(2,0)}=-U$.

Пусть функция $T(x,t)$ удовлетворяет дополнительному уравнению:

$$\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{m=1}^M C_{n.m}(x,t)T^{[n,m]}=C_{01}(x,t)T_t+C_{01}(x,t)T_x, \hspace{2cm} (3.4)$$

где $C_{n,m}(x,t)$ - заданные функции координаты и времени. Тогда, используя (3.3), для функций $U$ и $V$ получаем нелинейное дифференциальное уравнение

$$\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{m=1}^M C_{n.m}(x,t)A^{(n,m)}(U,V)+C_{01}(x,t)V=C_{01}(x,t). \hspace{2cm} (3.5)$$

Совместно с уравнением  (3.2) это уравнение представлет собой систему уравнений для функций $U$ и $V$, точные решения который задаются подстановками (2.4) и (3.1), при условии. что функция $T(x,t)$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (3.4).

I.4. Примеры

I.4.1 Скалярные уравнения

I.4.1.A Иерархия уравнений типа Бюргерса, аналгичных уравнениям типа КдВ

Для скалярных уравнений условие совместности можно записать в виде:

$$U_t=Q_x,$$ где $Q=V_x+UV$. При этом функции $A^{nk}[U,V]$: $$ A^{n+1\ k}=A^{nk}_x+A^{nk}A^{11},\quad{A^{n\ k+1}=A^{nk}_t+A^{nk}A^{02},}$$ $$n,k=0,1,2\ldots.$$ с начальными условиями: $$A^{01}=1,\quad{A^{10}=-\frac{1}{V},\quad A^{11}=\left[\frac{V_x}{V}-U\right],\quad A^{20}=\frac{U}{V},$$ $$A^{02}=\left[\frac{V_t}{V}-V_x+VU\right].$$ В частности для производных $T^{[n,0]}$ имеем следующие рекуррентные соотношения: $$T^{[n,0]}=\frac{1}{V}G_{n}[U]T_t,\quad n=1,2,\ldots$$ где $G_n[U]$ - дифференциальные выражения с постоянными коэффициентами относительно функции $U$, удовлетворяющие рекуррентному соотношению, $$G_{n+1}[U]=\frac{\partial}{\partial x}G_n[U]-UG_n[U],\quad n=1,2,\ldots.$$: с начальным условием: $$G_1[U]=-1.$$. Для нескольких первых шагов имеем: $$G_{2}=U,~~G_{3}=U_x-U^2,~~G_{4}=U_{xx}-3UU_x+U^3,$$ $$G_{5}=U_{xxx}-4UU_{xx}-3(U_x)^2+6U^2U_x-U^4,\ldots.$$

Используя соотношения  для $G_n(U)$ и полагая в качестве условия связи соотношение: $$V=\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U],$$ которое соответствует базовому уравнению: $$\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)T^{[n,0]}=T_t.$$  приходим к последовательной цепочке уравнений:
$$\frac{\partial}{\partial t}U +\frac{\partial}{\partial x}\left[U\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U]\right]=a\frac{\partial^2}{\partial x^2}\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U].$$
    Все эти уравнения образуют цепочку уравнений при произвольных функциях $C_n(x,t)$, аналогичных высшим уравнениям иерархии уравнений типа КдВ, но интегрируются не с помощью метода обратной задачи рассеяния, а линеаризуются с помощью обобщенной подстановки  Коула-Хопфа. Первые уравнения этой иерархии, соответствующие $G_1,~G_2,~G_3,~\ldots$   и постоянным коэффициентам $C_n$  имеют следующий вид: $$ U_t + C_1\frac{\partial}{\partial x}U=0,$$ $$U_t + C_2\frac{\partial }{\partial x}\left( U^2 - U_x\right)=0,$$ $$U_t + C_3\frac{\partial }{\partial x}\left(3UU_x-U^3-U_{xx}\right)=0,$$ $$U_t + C_4\frac{\partial }{\partial x}\left( 4 UU_{xx}+3\Big(U_x\Big)^2-6U^2U_x +U^4 - U_{xxx}\right)=0$$ $$\cdots \cdots$$

I.4.1.Б Уравнения телеграфного типа

   Еще один пример - это уравнения телеграфного типа: $$T_{xt}+a T_t+ b T_x=0$$ $$V_x-UV+a V-b=0;$$ $$\frac{\partial}{\partial t \prt x}\ln V+\frac{\partial}{\partial t}\left[a-\frac{b}{V}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[aV-b\right]=0.$$ Здесь $a,~b$ - произвольные функции $x,t$. Еще одно уравнение этого типа имеет такой вид:$$T_{tt}+\Gg T_{xx}+\ga T_t+\gb T_x=0,$$ $$\left[V_t-VV_x+V^2U\right]+\Gg U+\ga V-\gb=0;$$ $$\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{V_t+\Gg_x/2}{\Gg+V^2}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\gamma V_x-\gamma_t/2}{\Gg+V^2}\right]=$$ $$=\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\alpha V-\beta}{\gamma+V^2}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{V(\alpha V-\beta)}{\Gg+V^2}\right].$$ Здесь $\alpha,\beta,\gamma$ - произвольные функции $x,t$

I.4.1.В Уравнения гидродинамического типа

Cодержательный пример интегрирования уравнений гидродинамического типа, рассмотренный в [22], дает нелинейное базовое уравнение для $T$   следующего вида: $$T_{xx}T_{tt}-\Big(T_{xt}\Big)^2=0. \hspace{2cm}(4.1B)$$. Этому уравнению соответствует связь:$$U\left(V_t-VV_x+V^2U\right)=(V_x-VU)^2.$$ Преобразуя последнее соотношение и объединяя его с производящим уравнением  (3.2), получаем систему уравнений гидродинамического типа: $$U(V_t+VV_x)=\left(V_x\right)^2,$$ $$U_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV\Big)=V_{xx}.$$  Умножая второе уравнение на $V$ и складывая его с первым, получаем следующую эквивалентную систему:$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(UV\Big)+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV^2)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}V^2,$$ $$U_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV\Big)=V_{xx}.$$  Эту систему можно привести к системе уравнений одномерного течения сжимаемого газа: $$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\rho u\Big)+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u^2)=0 \hspace{3cm} (4.2B)$$ $$\rho_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u\Big)=0,\hspace{3cm} (4.3B)$$ если сопоставить плотности сжимаемого газа скорости течения газа  следующие функции: $$\rho=U, u=V-U^{-1}V_x, (4.4B)$$ и учесть, что: $$p=V_t+VV_x-U^{-1}\Big(V_x\Big)^2=0.$$

Решение уравнения  (4.1B) можно искать в виде  $$ T_t=S(T_x)$$, где $S=S(q)$   - произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. В результате замены: $T_x=q$ , последнее уравнение приводится к уравнению: $$q_t=R(q)q_x,$$ интегралом котрого является соотношение: $$F\Big(q,x+R(q)t\Big)=0,$$ где $F(\xi,\tau)$ - произвольная дифференцируемая функция и $R(q)=dS/dq$. После построения решения для функции $T$  вид функций $U$ и   $V$ отыскивается с помощью подстановок: $$V=-\frac{T_t}{T_x}, \rho=U=-\frac{T_{xx}}{T_x}, u=-\frac{T_{xt}}{T_{xx}}.$$ После этого могут быть найдены плотность потока и его скорость из соотношений (4.4B). Все решения уравнений  (4.2B) и (4.3B) определяются двумя дифференцируемыми функциями $S$ и $H$.
 

I.5. Матричные уравнения

I.5.1  Матричные базовые уравнения 

Результаты вычисления уравнений типа Бюргерса, связанные со скалярными уравнениями, переносятся на случай матричных уравнений. Пусть $\hat{T}(x,t)$ - квадратная матрица конечной размерности $N\times N$. элементы котрой зависят от $x$ и $t$. Рассмторим для этой функции следующие базовые уравнения: $$\hat{T}_t+\hat{V}\hat{T}_x=0$$ $$\hat{T}_{xx}+\hat{U}\hat{T}_x=0$$. Условием совместности этих базовых уравнений является уравнение: $$\hat{U}_t-\hat{Q}_x-[\hat{U},\hat{Q}]=0,\hspace{3cm}(5.1),$$ связывающее матрицы $\hat{V}$ и $\hat{U}$. Здесь $[\hat{U},\hat{Q}]=\hat{U}\hat{Q}-\hat{Q}\hat{U}$ - матричный коммутатор, и $\hat{Q}=\hat{V}_x+\hat{V}\hat{U}$.

Схема вычислений уравнений и их решений при этом остается той же, что и в скалярном случае. В качестве замыкающих уравнений для получения луравнений типа Бюргерса теперь необходимо добавлять интегрируемые матричые уравнения относительно функции $\hat{T}$.

I.5.2  Примеры. Матричные уравнения

I.5.2.A  Пример 1.

  Рассмотрим в качестве простого примера уравнения для $\hat{T}$ следующего типа: $$\hat{T}_{xt}=\hat{C}\hat{T}_{xx}$$, где $\hat{C}$ постоянная матрица $N\times N$. Это уравнение эквивалентно связи: $$\hat{Q}=\hat{C}\hat{U}$$. Подставляя это соотношение в уравнение совместности (5.1), получаем для матрицы $\hat{U}$ уравнение следующего вида: $$\hat{U}_t-\hat{C}\hat{U}_x+[\hat{C},\hat{U}]\hat{U}=0.$$

Рассмотрим случай матриц размерности $N=2$. Введем следующие обозначения:  $$\hat{U}=\left(\begin{array}{l}a(x,t)\hspace{0.5cm}u(x,t)\\ v(x,t)\hspace{0.5cm}b(x,t)\end{array}\right),\hspace{2cm}(5.2)$$ $$\hat{C}=\left(\begin{array}{l} 0\hspace{0.5cm}\lambda\\ -\lambda\hspace{0.5cm}0\end{array}\right),$$ $$A(x,t)=a(x,t)+iv(x,t), B(x,t)=b(x,t)+iu(x,t).$$ Тогда комплексные функции $A$ и $B$ удовлеьворяют следующим уравнениям: $$A_t+i\lambda A_{x} +i\lambda A^*B^*-i\lambda \Big|A\Big|^2=0,$$ $$B_t-i\lambda B_{x} -i\lambda B^* A^*+i\lambda \Big|B\Big|^2=0.$$ Эти уравнения имеют отношение к динамике оптических импульсов в среде с квадратичной нелинейностью. 

Сами решения этих уравнений строятся из решений системы уравнений для $\hat{T}$. Пусть $$\hat{T}=\left(\begin{array}{l}p(x,t)\hspace{0.5cm}q(x,t)\\ r(x,t)\hspace{0.5cm}s(x,t)\end{array}\right),$$ Тогда для элементов матрицы $\hat{T}$ имеем следующие уравнения: $$p_{xt}=\lambda r_{xx},\hspace{1cm} r_{xt}=-\lambda p_{xx}$$ $$q_{xt}=\lambda s_{xx},\hspace{1cm}s_{xt}=-\lambda q_{xx}$$. Отсюда следует, что все четыре функции $p,q,r,s$ удовлетворяют одному и тому же уравнению: $$\frac{\partial}{\partial x}\Big(p_{tt}+\lambda^2p_{xx}\Big)=0$$б но лишь две из них являются произвольными решениями этого уравнения. Две другие выражаются через них. При этом функции $a,b,u,v$ вычисляются следующим образом: $$a=-\frac{p_{xx}s_{x}-q_{xx}r_{x}}{p_xs_x-r_xq_x},\hspace{1cm}b=-\frac{p_{x}s_{xx}-q_{x}r_{xx}}{p_xs_x-r_xq_x}$$ $$u=\frac{p_{xx}q_{x}-q_{xx}p_{x}}{p_xs_x-r_xq_x},\hspace{1cm}v=\frac{s_{xx}r_{x}-s_{x}r_{xx}}{p_xs_x-r_xq_x}.$$

I.5.2.B  Пример 2.

Вторым примером может служить замыкающее уравнение следующего вида: $$\hat{T}_{xx} +\hat{C} \hat{T}_t=0.$$ Это уравнение соответствует связи: $\hat{V}=\hat{C}\hat{U}$, где $\hat{С}$ - как и прежде, постоянная матрица. Исключая с помощью этого соотношения функцию $\hat{V}$ из условия совместности (5.1), приходим к уравнению следующего вида: $$\hat{C}^{-1}\Big(\hat{U}_t - [\hat{C},\hat{U}]\hat{U}^2\Big) +2\hat{U}_x\hat{U}+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\hat{U}^2\Big)-\hat{U}_{xx}=0,$$ относительно матрицы $\hat{U}$. Используя для матрицы $\hat{U}$ представление (5.2), приходим к следующим уравнениям для функций $A$ и $B$, имеющиv  тот же вид, что и в предыдущем примере: $$A_t+i\lambda A_{xx}-i\lambda AB^*_x+i\lambda M_x+i\lambda H/2=0,$$ $$B_t-i\lambda B_{xx}+i\lambda BA^*_x+i\lambda N_x+ i\lambda G/2=0.$$ Здесь:$$M=A^*B^*-A^2/2-|A|^2,\hspace{1cm}N=A^*B^*-B^2/2-|B|^2,$$ $$H=A\Big[|A|^2+|B|^2-BA\Big]+A^*\Big[|A|^2+|B|^2+(A+A^*)(B-B^*)-BA^*\Big],$$ $$G=B\Big[|A|^2-|B|^2+BA\Big]-B^*\Big[|A|^2-|B|^2+(A-A^*)(B+B^*)-BA^*\Big].$$ Эта система уравнений может использоваться для описания оптических волн в среде с уцбической нелинейностью. 

II. Гидродинамические подстановки Коула-Хопфа

II.1 Гидродинамические подстановки
[Журавлев В.М. Точные решения в динамике сжимаемой жидкости и функциональные подстановки типа Коула-Хопфа. Сб. Инновационные технологии. Под ред. проф. С.В. Булярского. Ульяновск. Изд. УлГУ, 2010 г., С. 77-93]

Пусть $u(x,t)$ - скорость одномерного гидродинамического потока. Представим  эту функцию в следующем виде: $$u(x,t)= -\frac{\theta_{t}}{\theta_{x}},$$ где $\theta(x,t)$ - вспомогательная функция. Эта функция представляет собой физический параметр среды, переносящийся вдлоь линий тока без изменияний (пассивная примесь): $$\theta_{t}+u(x,t)\theta_{x}=0. \hspace{3cm}(1.1)$$ Таким параметром для идеальной жидкости может служить энтропия.

Дифференцируя уравнение (1.1) по $x$, приходим к следующему соотношению: $$\frac{\partial}{\partial t}\theta_{x}+\frac{\partial}{\partial x}\Big(u\theta_x\Big)=0.$$ Это уравнение имеет вид дифференциального закона сохранения, эквивалентного закону сохранения массы, если плотность среды $\rho(x,t)$ положить равной $\theta_x$ ($\rho=\theta_x$): $$\frac{\partial}{\partial t}\rho+\frac{\partial}{\partial x}\Big(u\rho\Big)=0.\hspace{2.5cm}(1.2)$$ При таком отождествлении закон сохранения массы выполняется тождественно при любой функции $\theta(x,t)$. Обратим внимание на то, что следствием (1.1) является еще одно формальное тождество: $$\left[\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right]F(\theta)=\frac{d F(\theta)}{d\theta}\Big(\theta_{t}+u\theta_{x}\Big)=0.\hspace{3cm}(1.3)$$ Это ождество означает, что вместе с параметром $\theta$ вдоль линий тока поток переносит без изменений и любую функцию этого параметра среды.

Следствием закона сохранения массы (1.2) является следующее соотношение: $$\frac{\partial \ln \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \ln \rho}{\partial x}= - u_x\hspace{2cm}(1.4)$$ Дифференцируя это соотношение по $x$ и совершив несложные преобразования, находим еще одно тождественое следствие из (1.2): $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right)\frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}= - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big).\hspace{3cm}(1.5)$$ Воспользуемся этими тождествами для построения решения для скорости гидродинамического  потока сжимаемой вязкой жидкости.

Совместно с (1.1) рассмотрим представление скорости $u(x,t)$ в следующем виде: $$u(x,t) = F(\theta) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x},\hspace{3cm}(1.6)$$ где $F(\theta)$ - произвольная дифференцируемая функция $\theta$. Поскольку $u(x,t)$ и $\theta(x,t)$ уже связаны соотношением (1.1), то не определенная до сих пор функция $\theta(x,t)$ должна теперь удовлетворять уравнению: $$\theta_t + F(\theta)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(1.7)$$ Смысл введения нового представления для функции $u(x,t)$ состоит в том, что функция  такого вида удовлетворяет уравнению Навье-Стокса. Действительно, имеем: $$u_t+uu_x=\left(\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right)\Big[F(\theta) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}\Big]$$. Используя теперь тождества (1.3) и (1.5), последнее соотношение преобразуем к следующему виду: $$u_t+uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big),\hspace{3cm}(1.8)$$ которое представлет собой уравнение Навье-Стокса одномерного течения сжимаемой жидкости с кинематическим коэффицентом вязкости равным $\nu$. Это означает, что любое решение $\theta$ уравнение (1.7) призаданной функции $F(\theta)$ определяет с помощью соотношений (1.1) или (1.6) функцию $u(x,t)$ и с помощью соотношения $\rho=\theta_x$ функцию $\rho$, которые являются решением уравнений (1.8) и (1.2), описывающих полностью поток вязкой сжимаемой жидкости. Соотношения (1.1) и (1.6) вместе с соотношением $\rho=\theta_x$ можно рассматривать как функциональные подстановки, сводящие уравнение Навье-Стокса (1.8) к уравнению (1.7).

В полученном представлении выбор функции $F(\theta)$ определяется начальными условиями. Если в начальный момент времени заданы две функции $\rho_0(x)=\rho(x,0)$ и $u_0(x)=u(x,0)$, то начальное распределение для функции $\theta$ - $\theta_0(x)=\theta(x,0)$, и функция $F(\theta)$  находятся из следующих условий:  $$ \frac{\partial \theta_0(x)}{\partial x}=\rho(x,0) $$
$$F(\theta_0(x)) =u_0(x) + \nu \frac{\partial \ln \theta_0(x)}{\partial x},$$ Важным свойством полученного представления является возможность построить достаточно большой класс точных решений задачи о вязком сжимаемом потоке для некоторых типов нальных условий. Одним из таких общих классов точных решений связан с такими условиями, для которых функция $F(\theta)$ имеет вид линейной функции, т.е. $$F(\theta)=\alpha+\beta \theta$$. Здесь $\alpha, \beta$ - произвольные постоянные. Для таких условий уравнение (1.7) представляет собой уравнение Бюргерса: $$\theta_t + (\alpha+\beta\theta)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(1.9)$$.  Все решения последнего уравнения с помщью классической подстановки Коула-Хопфа: $$\theta=-\frac{2\nu}{\beta}\frac{\partial}{\partial x}\Phi(t,x-\alpha t),$$ приводится к уравнению теплопроводности: $$\Phi_t=\nu\Phi_{\xi\xi},$$ где $\xi=x-\alpha t$.

II.2 Волны в самогравитирующей среде

II.2.1 Одномерный случай

V. M. Zhuravlev and D.A.Zinov’ev. Nonlinear Waves in Self-Gravitating Compressible Fluid
and Generalized Cole−Hopf Substitutions. Physics of Wave Phenomena, 2011, Vol. 19, No. 4, pp. 313–317

Задача о динамике самогравитирующей среды в одномерном пространстве сводится к решению следующей системы уравнений: $$u_t + uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big) - \phi_x$$ $$\rho_t+(\rho u)_x=0;$$ $$\phi_{xx} = 4\pi G \rho.$$ Первые два уравнения - это уравнения динамики пыли в поле тяготения, потенциал которого описывается третьим уравнением - уравнением Пуассона. Для построения решений этой системы воспользуемся методом, изложенным в предыдущем разделе.

Согласно методу гидродинамических подстановок имеем: $\rho=\theta_x$. В этом случае уравнение Пуассона можно записать в следующем виде: $$\phi_{xx}=4\pi G\theta_{x}.$$  Интегрируя это уравнение по $x$, находим: $$\phi_x=4\pi G \theta + g_0(t),$$ где $g_0(t)$ - произвольная функция времени, характеризующая ускорение системы в некотрой фиксированной точке пространства, например, на бесконечности. В результате первое уравнение исходной системы принимает следующий вид: $$u_t + uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big) -4\pi G \theta - g_0(t).\hspace{3cm}(2.1)$$

По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим вместо (1.6) представление для функции $u(x,t)$ следующего вида: $$u(x,t) = F(\theta)+tH(\theta)+v_0(t) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}.\hspace{3cm}(2.2)$$ Здесь $\dot{v}_0=-g_0(t)$. Подставляя (2.2) в (2.1), легко проверить, что это уравнение обращается в тождество при условии, что $H(\theta)=-4\pi G \theta$. Следовательно, вместо уравнения (1.7) для функции $\theta$ в данном случае получаем уравнение следующего вида: $$\theta_t +\Big(F(\theta)-4\pi t \theta-v_0(t)\Big)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(2.3)$$

В случае отсутствия вязкости уравнение для функции $\theta$ принимает вид квазилинейного уравнения первого порядка: $$\theta_t +\Big(F(\theta)-4\pi G t \theta-v_0(t)\Big)\theta_x= 0.\hspace{3cm}(2.4)$$ Это уравнение уже допускает точные решения. Общий интеграл для этого уравнения имеет следующимй вид: $$H\Big(\theta,x-F(\theta)t+2\pi G t^2 \theta+q_0(t)\Big)=0,\hspace{3cm}(2,5)$$ где $H(\xi,\eta)$ - произвольная дифференцируемая функция, а $\dot{q}_0=v_0(t)$. Действительно,  дифференцируя соотношение (2.5) по $x$ и $t$, находим: $$H_{x}=H_{\xi}\theta_x+H_{\eta}\Big(1-(\acute{F}(\theta)t-2\pi G t^2 )\theta_x\Big)=0$$ $$H_{t}=H_{\xi}\theta_t-H_{\eta}\Big((\acute{F}(\theta)t-2\pi G t^2 )\theta_t+F(\theta)-4\pi G t \theta-v_0(t)\Big)=0.$$ рассматривая эти уравнения как систему двух линейных алгебраических уравнений относительно  производных функции $H_{\xi}$ и $H_{\eta}$, приходим к услвоию их совместности в форме уравнения (2.4). Таким образом, любое решение алгебраического уравнения (2.5) относительно функции $\theta(x,t)$ является решением уравнения (2.4).

II.2.2 Цилиндрические и сферические волны
 

По аналогии с одномерным течением идеальной сжимаемой среды решается задача о цилиндрических и сферических волнах в само гравитирующей среде. Уравнения динамики такой среды можно представить в следующем виде: $$u_t + uu_r =-\phi_r$$ $$\rho_t+\frac{1}{r^n}\frac{\partial}{\partial r}\Big( r^n\rho u\Big)=0;$$ $$\frac{1}{r^n}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^n\phi_r\Big) = 4\pi G \rho.$$ При $n=0$ эта система переходит у уравнение для олномерного течния, при $n=1$ течение обладает цилиндрической симметрией, а при $n=2$ - сферической.

Введем функцию $\varrho = r^n\rho$, которая представлет собой с точностью до постоянного множителя радиальную плотность среды, т.е. массу отнесенную к бесконечно тонкому цилидрическому ($n=1$) или сферическому ($n=2$) слою среды. В результате система уравнений примет следующий вид: $$u_t + uu_r =-\phi_r;$$
$$\varrho_t+\frac{\partial}{\partial r}\Big(\varrho u\Big)=0;$$
$$\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^n\phi_r\Big) = 4\pi G \varrho.$$ Вид этой системы позволяет применить для построения ее решений метод гидродинамических подстановок, изложенный выше.

Введем следующие подстановки: $$u=-\theta_t/\theta_r$$ $$\varrho = \theta_r$$. Тогда уравнение Пуассона сводится к уравнению следующего вида: $$\phi_r = \frac{1}{r^n} \Big(4\pi G \theta + g_0(t)\Big). \hspace{3cm}(2.6)$$ Рассмотрим случай $g_0\equiv 0$. Используя это соотношение, преобразуем первре уравнение в системе. Находим: $$u_t + uu_r =-\frac{4\pi G}{r^n}\gt-\frac{1}{r^n} g_0(t).\hspace{3cm}(2.7)$$ Решение этого уравнения для $u(r,t)$ будем искать в таком виде: $$u = f(r)[Q(\theta) + v_0(t)].\hspace{3cm}(2.8)$$  Подставляя это соотношение в (2.7), находим условия при которых оно обращается в тождество: $$\acute{f}f=-r^n$$ $$Q^2(\theta)=4\pi G \theta.$$ Отсюда следует, что для обращения (2.7) в тождество достаточно выбрать: $$Q(\theta)=\sqrt{4\pi G\theta}$$ и $$f(r)=\pm \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\sqrt{r^{-1}_0+ r^{-1}},~~n=2\\ \sqrt{2}\sqrt{\ln r_0 - \ln r},~~n=1.\end{array}\right.$$ Здесь $r_0$-постоянная интегрирования. При этом функция $\theta(r,t)$ должна удовлетворять уравнениям: $$\theta_t \pm \Big(\sqrt{8\pi G} \sqrt{r^{-1}_0+r^{-1}}\sqrt{\theta}\Big)\theta_r = 0.\hspace{0.5cm}n=2$$ $$\theta_t \pm \Big(\sqrt{8\pi G} \sqrt{\ln r_0 - \ln r}\sqrt{\theta}\Big)\theta_r = 0.\hspace{0.5cm}n=1$$ Эти уравнения имеют интегралы движения.