Данная статья выражает личную точку зрения автора и опубликована самостоятельно в личном блоге.

Рассмотрим движение тела в двух системах отсчета - вращающейся (ВСО) с осями x и y и неподвижной с осями X и Y (Рис 1.)

Рис. 1.

Допустим, что скорость вращения постоянна и равна Ω. Тогда угол между осями координат подвижной и неподвижной системы изменяется по закону θ=Ωt

Траектория тела в абсолютной и неподвижной системе отсчета связана с его траекторией во вращающейся системе следующими соотношениями:

                                            

Или в комплексной форме :

                                     

где  z=x+iy, Z=X+iY   

или в матричной форме, опуская скобки (t) и (Ωt)

           

Обозначим матрицу поворота буквой  С, а обратную ей С ^-1. Тогда

                                   

     

Или в комплексной форме

        

Теперь зная траекторию тела в неподвижной системе, мы можем представить, как она выглядит с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с подвижной системой отсчета.  Для примера возьмем математический маятник, подвешенный над вращающейся платформой, но не связанный с ней. Его траектория в неподвижной системе - отрезок прямой линии, а координаты изменяются во времени по закону:

                         

Подставляя (3) в (1) получим:

                                     

или в комплексной форме, учитывая, что cos(ωt)=0.5(e^iωt+e^-iωt ) ,

Посмотрим, как будет выглядеть траектория (8) (Рис. 2). Пусть ω=1, Ω=0.1

Рис. 2.

Траектория не связанного с ВСО тела в глазах наблюдателя, находящегося в ВСО,  напоминает ромашку. Поворот траектории (прецессия) происходит ПО часовой стрелке, поскольку платформа вращается ПРОТИВ часовой стрелки.

Продифференцировав дважды формулу (2) установим связь между ускорениями (силами) наблюдаемыми в ВСО и реально существующими в неподвижной системе отсчета.

Относительная скорость тела связана с абсолютной формулой:

      

Или в матричной форме

     

 

Относительное ускорение тела векторно связано с абсолютным, кориолисовым и центростремительным ускорениями.

        

Или в матричной форме

      

Чтобы не смущала смена знаков при переходе от комплексной к матричной форме записи, в сноске[I] приведем подробный вывод формул.

Обратите внимание! Тело движется НАД ВСО и не связано с ней, а подвижный наблюдатель может только гадать о характере сил действующих на тело в неподвижной системе отсчета.

Связь между относительными и абсолютными движениями мы получили (13), но для решения системы дифференциальных уравнений нам нужно рассматривать все соотношения в одной системе отсчета - вращающейся.  

Для этого пойдем от обратного – от неподвижной системы.

   

     

Снова обратимся к формуле (13)

           

Мы уже знаем , что , а выше получили выражение (19) для «кориолисовой части»

 формулы (13):              

  

Подставляя эти соотношения в (13) придем к записи относительных ускорений в таком виде:

Наблюдатель  во вращающейся лаборатории в расчетах должен учитывать центростремительное и кориолисово ускорение тела НЕ ЗАВИСИМО ОТ НАЛИЧИЯ СВЯЗИ ТЕЛА И ЛАБОРАТОРИИ!

Наличие и характер СВЯЗИ определяется видом первого слагаемого в выражении (21).

Мы уже близки к развязке. Для маятника в линейном приближении 

Откуда, с учетом (4),

Вот и готовы уравнения движения тела во вращающейся системе отсчета.

В классических учебниках можно встретить следующие (23) уравнения движения маятника на вращающейся платформе – маятника Фуко[1],[2].  

В них не учитывается центростремительное ускорение, поскольку Земля вращается очень медленно по сравнению с периодом колебаний маятника.

Решением системы дифференциальных уравнений

             

преобразованной в комплексную форму заменой z=x+iy  является комплексная функция времени

  

или в вещественной форме:

Такой вид функции получается, если начальная радиальная скорость равна нулю.

Допустим, ω=1, Ω=0.1, z₀ =1+0i. Траектория движения тела под действием сил, описанных системой уравнений (23) представлена на Рис. 3:

Рис.3

Траектория напоминает звезду и раскручивается по часовой стрелке. Но в какую сторону вращается платформа? Конечно же против часовой стрелки. Направление вращения определяется направлением псевдовектора Ω, который в данном случае сонаправлен оси z, образующей с осями x и y правую систему.

А теперь  подвесим маятник на рамке, вращающейся вместе с платформой (Рис. 4).

Рис. 4.

Если точка подвеса совпадает с осью вращения платформы, центробежная сила не будет действовать  на маятник.  Возможно, это не всем покажется очевидным.  Грузик на нити, освобожденный над некоторой периферийной точкой уже раскрученной платформы, в неподвижной системе будет совершать движение обычного сферического маятника, запущенного с начальной тангенциальной скоростью  , т.е. колебания с поворотом (прецессией) траектории («эллипса»).  Направление прецессии определяется направлением скорости в начальный момент времени, т.е. совпадает с направлением вращения платформы.  Скорость  самопрецессии траектории  можно оценить по формуле

  или точнее[3]             

где θ_max - начальный угол отклонения маятника от вертикали.

Траектория сферического маятника хорошо известна. Ее проекция на плоскость это все та же «ромашка» (Рис 5), (параметры  движения: Ω=0.1, θ_max =π/6 ). Только прецессия существенно меньше частоты вращения платформы и примерно равна  0.1 Ω.

Рис. 5.

 

Как эта ромашка выглядит с точки зрения наблюдателя вращающегося вместе с платформой легко представить, выполнив привычные уже преобразование координат (4) : .

Естественно возникает вопрос, а как выглядит «вращающаяся звезда» в неподвижной системе отсчета. Для этого у нас есть мощный инструмент – формулы преобразования при повороте системы координат.

Особенно наглядно преобразуются координаты в комплексной форме записи:

Формула (27) показывает,  что «звезда» маятника Фуко в неподвижной системе выглядит как

эллипс с осями z₀ и  z₀Ω/ω, Рис.6. Именно такой была бы траектория сферического маятника с небольшим закручиванием вокруг вертикальной оси без учета самопрецессии[4].

Рис. 6.

Из всего сказанного следует, что  траектория сферического маятника на вращающейся платформе может быть найдена простым преобразованием координат, полученных решением дифференциальных уравнений в неподвижной системе, не используя понятия "Кориолисово ускорение", которое является  побочным математическим эффектом преобразования координат из вращающейся в неподвижную систему.