Такой вывод можно сделать, проделав следующий простой расчет. Рассмотрим пару Земля – Луна в их обращении вокруг центра масс по строго круговым орбитам. Для решения задачи нам потребуется найти моменты сил, действующих на Землю со стороны Луны: главный момент, связанный с действием Луны на экваториальные вздутия Земли и вторичный момент, возникающий от действия Луны на приливные вздутия. Найдем главный момент (Рис.1.) 

     Рассмотрим две системы координат:  Oxyz – система, связанная с главными центральными осями инерции Земли, и OXYZ – орбитальная система координат. Связь  между этими системами осуществляется посредством матрицы поворота или матрицы направляющих косинусов $\boldsymbol{A}$.

Рис.1.

$\boldsymbol{A}=$$\begin{pmatrix} \cos\psi \cos\varphi - \sin\psi \cos\theta \sin\varphi & - \cos\psi \sin\varphi - \sin\psi\cos\theta  \cos\varphi & \sin\psi \sin\theta \\sin\psi cos\varphi + \cos\psi \cos\theta \sin\varphi & \cos\psi \cos\theta \cos\varphi - \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\theta \\ \sin\theta \sin\varphi & \sin\theta \cos\varphi & \cos\theta \end{pmatrix}$                      (1)

Рис. 2.

     Направляющие косинусы связаны с углами Эйлера (Рис. 2.) следующими соотношениями:

 $a_{11}=\cos\psi \cos\varphi - \sin\psi \cos\theta \sin\varphi\\a_{12}= - \cos\psi \sin\varphi - \sin\psi\cos\theta  \cos\varphi\\a_{13} =\sin\psi \sin\theta \\a_{21}=\sin\psi cos\varphi + \cos\psi \cos\theta \sin\varphi\\a_{22} =\cos\psi \cos\theta \cos\varphi - \sin\psi \sin\varphi \\a_{23}= - \cos\psi \sin\theta \\a_{31}= \sin\theta \sin\varphi \\a_{32} =\sin\theta \cos\varphi \\a_{33}= \cos\theta$                               (2)

     Эта матрица позволяет по известным координатам вектора  в системе Oxyz найти его координаты в системе OXYZ.

$\begin{pmatrix} X \\Y\\Z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y\\z\end{pmatrix}$              (3)

     Чтобы осуществить обратный переход, нужна матрица, обратная $\boldsymbol{A}$. К счастью, матрица поворота является ортогональной, т.е. чтобы найти обратную ей, достаточно ее транспонировать. Таким образом,

$\begin{pmatrix} x \\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\Y\\Z\end{pmatrix} $               (4)

     На элементарную массу  dm в теле Земли со стороны Луны действует сила:

$d\boldsymbol{F}=-\frac{\mu}{\rho^3}\boldsymbol{\rho}dm $                  (5)

где $\mu$ – гравитационный параметр Луны.

     Момент, создаваемый этой силой относительно центра масс Земли равен:

$\boldsymbol{M}=\int \boldsymbol{r}\times d\boldsymbol{F} = -\mu \int \frac{\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\rho}}{\rho^3}dm $                             (6)

     Радиус вектор элементарной массы dm является суммой векторов $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{r}$,

$\boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{R}+\boldsymbol{r}$                    (7)

а его модуль  равен:

$\rho=(R^2+r^2+2\boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{r})^{1/2}=R \left( 1+\frac{2\boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{r}}{R^2}+\frac{r^2}{R^2}\right)^{1/2}$                       (8)

     В случае с Луной  величиной  $\frac{r^2}{R^2}$  можно пожертвовать без существенной потери точности.

Следовательно,

$\frac{1}{\rho^3}=\frac{1}{R^3}\left(1-3\frac{\boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{r}}{R^2}\right)$              (9)

     Вспомним, что векторное произведение вектора самого на себя равно нулю:

$\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{R}+\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R} $                              (10)

     Результирующий момент теперь можно представить как сумму двух интегралов:

$\boldsymbol{M_1}=-\mu\int \frac{\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}}{R^3}dm $     (11)

$\boldsymbol{M_2}=\frac{3\mu}{R^5}\int (\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R})(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{R})dm$                               (12)

     Первый интеграл равен нулю, поскольку интегралы вида $\int xdm,\int ydm,\int zdm$ по объему тела (Земли) равны нулю.

     В качестве упражнения можно доказать равенство:

$(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R})(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{R})=\boldsymbol{R}\times(\boldsymbol{I}\cdot\boldsymbol{R}) $                              (13)

 где $\boldsymbol{I}$ - матрица вида

$I=\begin{bmatrix}y^2+z^2 &-xy  &-xz \\ -xy&x^2+z^2  &-yz \\-xz &-yz  &x^2+y^2\end{bmatrix}$                               (14)

Тогда:

$\boldsymbol{M_2}=\frac{3\mu}{R^3}\frac{\boldsymbol{R}\times(\boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{R})}{R^2} $                           (15)

где $\boldsymbol{J}$ - классическая матрица тензора инерции твердого тела.

     Отношение вектора $\boldsymbol{R}$ к своему модулю есть единичный вектор, задающий его направление.

$\boldsymbol{\alpha}=\frac{\boldsymbol{R}}{R}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\ a_{13}\end{pmatrix} $                (16)

Следовательно,

$\boldsymbol{M_2}=\frac{3\mu}{R^3}{\boldsymbol{\alpha}\times(\boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{\alpha})}$                           (17)

или, в проекции на оси орбитальной системы координат:

$\\ {M_x}=\frac{3\mu}{R^3}(C-B)a_{12}a_{13}\\{M_y}=\frac{3\mu}{R^3}(A-C)a_{11}a_{13}\\{M_z}=\frac{3\mu}{R^3}(B-A)a_{11}a_{12}  $                     (18)

где, А, В, С - главные центральные моменты инерции Земли.

     Трансверсальную силу, действующую на приливные вздутия можно оценить как $2.204\cdot10^8$ Н (http://www.spacephys.ru/pochemu-udalyaetsya-luna-metodicheskaya-zarisovka). Момент, порождаемый приливными силами, обозначим $\boldsymbol{N}$. Механизм его возникновения таков: приливные горбы сносятся суточным вращением Земли, отчего возникает трансверсальная компонента равнодействующей силы притяжения. Эта компонента разгоняет Луну по орбите. Равная ей по величине и противоположная по направлению сила замедляет  вращение Земли, создавая тормозящий момент.  Величина  тормозящего момента имеет порядок $10^{15}$ Н м.

     Проекции этого момента на главные центральные оси инерции Земли есть:

$\\ {N_x}=N a_{31} \\{N_y}= N a_{32} \\{N_z}= N a_{33}$            (19)

     Теперь можно записать динамические уравнения Эйлера:

$\\ A\dot{p}+(C-B)qr={M_x}-{N_x}\\B\dot{q}+(A-C)pr={M_y}-{N_y}\\C\dot{r}+(B-A)pq={M_z}-{N_z}$                               (20)

где p,q,r – компоненты вектора угловой скорости вращения тела Земли около ее центра масс в базисе, связанном с главными центральными моментами инерции.

     Угловая скорость вращения Земли есть сумма двух векторов – угловой скорости вращения тела Земли около центра масс Земли $\omega$ и угловой скорости вращения центра масс Земли около центра масс Земли и Луны $\Omega$.

     Компоненты первого вектора:

$\\\omega_x=\dot{\psi}\sin\theta\sin\varphi+\dot{\theta}\cos\varphi\\\omega_y=\dot{\psi}\sin\theta\cos\varphi-\dot{\theta}\sin\varphi\\\omega_z=\dot{\psi}\cos\theta+\dot\varphi\\  $                            (21)

     Компоненты второго вектора:

$\\\Omega_x=\Omega a_{31}=\Omega\sin\theta\sin\varphi\\\Omega_y=\Omega a_{32}=\Omega\sin\theta\cos\varphi\\\Omega_z=\Omega a_{33}=\Omega\cos\theta\\  $        (22)

     Компоненты вектора абсолютной угловой скорости равны:

$\\p=(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta\sin\varphi+\dot{\theta}\cos\varphi\\q=(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta\cos\varphi-\dot{\theta}\sin\varphi\\r=(\dot{\psi}+\Omega)\cos\theta+\dot\varphi\\$                          (23)

     Выведем отсюда производные эйлеровых углов:

$\\\dot{\psi}=(p\sin\varphi+q\cos\varphi)\csc\theta-\Omega\\\dot{\theta}=(p\cos\varphi-q\sin\varphi)\\\dot{\varphi}=r-(p\sin\varphi+q\cos\varphi)\cot\theta\\ $      (24)

      Угловая скорость обращения Земли около барицентра системы Земля-Луна равна:

$\Omega=\sqrt\frac{\lambda+\mu}{R^3}  $                          (25)

где $\lambda$, $\mu$ гравитационные параметры Земли и Луны.

     Итак, допустим, что Луна движется по круговой орбите, т.е. R=const, $\Omega$=const.        Действие Луны на экваториальные вздутия Земли приводит к прецессии земной оси. К слову, в далеком прошлом, когда Луна была ближе, а Земля вращалась быстрее и от этого была более сжатой, постоянная прецессии очевидно была выше. 

     Действие Луны на приливные вздутия приводит к несколько иным последствиям. Вращение Земли замедляется. Энергия рассеивается приливным трением безвозвратно.  Следовательно, изменение наклона земной оси может носить необратимый характер, как в случае волчка с трением: трение сначала "съедает" нутацию, а потом берется за наклон.

Можно попробовать завысить момент приливного взаимодействия до $10^{20}$, чтобы определить тенденцию его влияния на наклон Земной оси. Результат можно видеть на Рис. 3. В течение года наклон заметно увеличивается!