Законы механики И.Ньютона в современном изложении

и их формулировка в «Началах».

 

Содержание:

1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе

2. Определения в книге «Начала».

3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела

3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат

4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ

5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.

6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА

7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра

   7.1 Устройство динамометра

   7.2 Устройство акселерометра

   7.3  Описание принципа работы акселерометра

   7.4  О колебательном характере процесса измерении ускорения

   7.5  Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения

   7.6.  О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты

   7.7.  Тарировка акселерометра

8. Пример использования акселерометров в системах управления летательными аппаратами

 

1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе  

   Первый том «Начал» был представлен Исааком Ньютоном Королевскому обществу в 1686г., а  полностью  труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (на современном языке - «Математические основы физики») в трёх томах вышел через год, в 1687г.       Тираж (около 300 экземпляров) был распродан за 4 года — для того времени очень быстро. Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943г) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона. 

 Далее Вашему вниманию, уважаемый читатель, предлагаются выдержки из книги серии «Великие умы России» Елены Сельцовой «Алексей Николаевич Крылов». Москва 2017г. о выдающемся переводчике «Начал» И.Ньютона на русский язык А.Н.Крылове - механике, математике и кораблестроителе.

   В 1914г выпускник-отличник Морской академии Алексей Николаевич Крылов (03.06.1863 – 26.10.1945) (и её будущий профессор, имя которого будет присвоено позже Морской академии),  приступает к переводу с латинского (языка для научных публикаций того времени) «Начал» Исаака Ньютона  и в 1916г книга была напечатана полностью с дополнениями в оригинальный текст Ньютона более чем 200 замечаний переводчика размером от пары строк до нескольких листов. В этом же году Крылов был избран действительным членом Российской Академии наук, а позже и членом Академии наук СССР.

     Сразу по окончании с отличием Академии Крылов был зачислен в Главное гидрографическое управление, где выполняет свой первый научный труд по расчёту делений  для нового дефлектора  - прибора, измеряющего действующую на компас магнитную силу, заменяющего ручные расчёты поправок к дополнительному устройству, автоматически корректирующему показания компаса с учётом влияния намагниченности металлических корпусов кораблей, сменивших деревянные суда, которые не искажали показания магнитного компаса. Неоднократные крушения в 19 веке металлических кораблей из-за ошибочных показаний компаса, вызванных девиацией показаний, привели к разработке вышеупомянутого прибора коррекции показаний компаса. Крылов изучив предложенный французский вариант «дромоскопа», построенного на основе приближённой формулы девиации и приводящего к значительным ошибкам, предложил на основе точной формулы девиации своего научного руководителя (основоположника учения о девиации И.П.де-Колонга) новый вариант «дромоскопа», который благодаря простоте оказался в 7 раз дешевле французского прибора. По окончании преподавательской деятельности (в 75 лет) он возвращается к научным изысканиям по компасному делу. За эти работы и курс лекций о девиации А.Н. Крылов был удостоен Сталинской премии 1-й степени в 1941г, а в 1943г. ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

    В начале своей научной деятельности Крылов читал, по совету своего научного руководителя,  необходимые для работы сочинения Гаусса на латыни. Только тогда будущий академик осознал важность знания этого языка: «Много раз в течение моей жизни и научной деятельности мне с пользой служила латынь…  Я свободно разбирался в элементарно простой латыни  Эйлера, несколько труднее в превосходной латыни Ньютона и ещё труднее в чисто классической латыни Гаусса и Якоби».   По иронии судьбы, Крылов в детстве, обращаясь к отцу с просьбой разрешить учиться на морского офицера в училище, мотивировал свою просьбу нежеланием «зубрить никому не нужные латынь и греческий». Однако из-за развившейся близорукости к моменту окончания училища мечта о флотской жизни с кругосветными путешествиями оказалась неосуществима.

   У англичан перевод «Начал» Ньютона есть только в виде подстрочника.  В мире нет издания, подобного переводу А.Н. Крылова. Автор стремился не только сохранить смысл подлинника, но и следил за чистотой русского языка, отказавшись от знаменитой жёсткости языка  Ньютона. Крылов писал, что «там, где сейчас принято говорить «сохраняет своё состояние движения», в «Началах»  можно прочесть «продолжает упорно пребывать в своём состоянии»; на языке Ньютона сила не прикладывается к телу, а «вдавливается» или «втискивается» в него и т.п. Поэтому с целью приближения текста к современному способу изложения «в переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология».

   В 1916г. в Петрограде вышла книга «Начал» И.Ньютона в переводе профессора А.Н.Крылова  под названием «УЧЕНIЕ о ПРЕДѢЛАХЪ, какъ оно изложено у Ньютона». Это единственный случай, когда  переводчиком «Начал» стал выдающийся учёный.

    Именно в этой книге «Начал» И.Ньютон сформулировал три закона классической механики и закон тяготения ("закон обратных квадратов", как его называл сам Ньютон и который им был опубликован до написания "Начал"), а также изложил свой вариант (независимо от Лейбница) математического анализа бесконечно малых приращений (метод «флюксий» у Ньютона  в отличие от метода дифференциального исчисления у Лейбница, утвердившегося в науке вместо «флюксий» Ньютона) и развил метод вариации произвольных постоянных эллиптического движения применительно к анализу движения Луны, так что уравнении Лагранжа были, по-видимому, предвосхищены в книге Ньютона.  

         Далее приведены небольшие отрывки из предисловия Л.С.Полака к изданию «Начал» в серии «Классики науки» под названием:  «Исаак Ньютон   Математические начала натуральной философии» под редакцией Л.С.Полака, Москва ,«НАУКА» 1989. Репринтное издание 1936г. 687стр.

  « Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете… Мы впитываем в нашу духовную плоть три аксиомы (закона) Ньютона, его пространство и время, его закон всемирного тяготения и многое другое…  Не случайно Лагранж назвал «Начала» «величайшим произведением человеческого ума».

     Открытию закона всемирного тяготения в Англии предшествует период волнующих исканий: Гук, всегдашний противник и оппонент Ньютона, Галлей, восторженный поклонник его и Рен, великий архитектор и учёный,  в 1684г. втроём обсуждают в Лондоне вопрос о движении тел под действием силы притяжения;  здесь Гук заявляет, что у него уже готово решение, но он откладывает сообщение о нём.  Время идёт, и Галлей замечает, что мистер Гук «не так хорош, как его слова», и однажды обращается к Ньютону с вопросом: какая должна быть орбита тела, движущегося вокруг центра притяжения под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния?  Ньютон немедленно отвечает, что это, конечно же, эллипс и что он уже с 1679г. владеет решением задачи. С этого момента и начинается работа  Ньютона, приведшая к созданию «Начал».

   Знание тогдашней науки и работ современников видно из анализа состава библиотеки Ньютона. В ней 2100 томов по алхимии и химии, математике и физике,  естественным наукам, теологии  и классической древности.   

   Универсальность открытой Ньютоном динамической системы была неожиданностью для его современников…

    Ньютон не случайно  назвал свой великий труд «Математическими началами» . Математика для него была главным орудием в физических исследованиях.  Но Ньютон никогда не терял связи с экспериментом, и в этом его сила. Его изумительное искусство в постановке многочисленных опытов заложило основы экспериментального исследования современного типа.    Сам Ньютон писал, что тем, чего он достиг «обязан только усердию и упорной мысли».

  Великий труд Ньютона и переворот, произведенный им, не следует рассматривать как результат линейного развития более ранних идей. Если в разработке и применении двух первых законов (аксиом) движения у него были предшественники, то третий закон полностью принадлежит Ньютону и никем не оспаривался.

  Как известно, Ньютон сформулировал закон тяготения (закон обратных квадратов), определяющий движение небесных тел в классическом пространстве, до того, как написал «Начала», с успехом приложив его к анализу притяжения между Солнцем  и планетами. Однако только согласно его третьему закону гравитация не могла далее рассматриваться как некое изолированное свойство, присущее одному центральному телу Солнечной системы. Она должна быть присуща Луне, каждой планете, комете и  звезде во Вселенной – мысль, вероятно, одна из глубочайших, когда-либо приходивших человеческому уму…

      В заключение необходимо подчеркнуть воистину бесчисленные подтверждения положений, развитых Ньютоном в «Началах». В течение последних десятилетий они получили решающее «космическое» доказательство: достаточно вспомнить о прецизионных экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и подтвердивших с высокой точностью уравнения Ньютона.» 

В начале своей книги Ньютон  даёт восемь Определений(I-VIII) и итоговое Поучение:

2. Определения в книге «Начала».

Определение I

   « Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её.»

   Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса.  Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками.

  *) Примечание Крылова:  Ни одно определение Ньютона не вызвало столько критических замечаний и столько толкований. Термин «Количество материи» составляет как бы одно слово «материя», но при дальнейшем развитии науки не удержался и в современной терминологии заменён равносильным ему термином «масса».

  Необходимо так же иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь её пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается предположение о принятой единице массы), «площадь прямоугольника равняется произведению его основания на высоту», а говорили «площадь прямоугольника пропорциональна его основанию и высоте». 

  До Ньютона понятие о массе не вводилось, а рассматривался лишь вес и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объёма вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна  его весу и обратно пропорциональна его объёму. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так: 

   «Масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объёму»

 

Определения II

«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»

Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит для массы, вдвое большей, при равных скоростях оно двойное, при двойной  же  скорости – четверное.

Определение III

 « Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»

    Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на неё.

  От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии.  Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление и как напор. Как сопротивление – поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить своё состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе  сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор – телам движущимся.

Но движение и покой, при обычном их рассмотрении, различаются лишь в отношении одного к другому,  ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется. 

    Определение IV

   «Приложенная сила есть действие, производимое над телом, что бы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»

   Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении  действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции.  Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы.

    Определение V

  «Центростремительная сила есть та, с которою ТЕЛА к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся.»

   Такова сила тяжести, под действием которой тела стремятся к центру Земли, магнитная сила, которою железо притягивается к магниту, и та сила, каковою бы она ни была, которою планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются обращаться по кривым линиям.  Камень, вращаемый в праще, стремится удалиться от вращающей пращу руки, и этим свои стремлением натягивает пращу тем сильнее, чем быстрее вращение, и как только его пустят, то камень улетает.

   Силу, противоположную сказанному стремлению, которою праща постоянно оттягивает камень к руке и удерживает его на круге, т.е. силу направленную к руке или к центру описываемого круга, я и называю центростремительной.

    Но тело может испытывать воздействия не только со стороны тел, с которыми оно соприкасается. Оно может подвергаться воздействиям также со стороны различного рода силовых полей, возбуждаемых другими телами. Поэтому вопрос сводится к тому, как убедиться в том, что воздействиям со стороны силовых полей тело не подвергается. Брошенное тело, если бы силы тяжести не было, не отклонялось бы к Земле, а уходило бы в небесное пространство по прямой линии равномерно, если бы не было и сопротивления воздуха. Своею тяжестью оно оттягивается от прямолинейного пути и постоянно отклоняется к Земле в большей или меньшей степени, сообразно напряжению силы тяжести и скорости движения.

    Увеличивая скорость свинцового ядра, брошенного горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, можно по желанию увеличить и дальность полёта и уменьшить кривизну линии, по которой ядро движется, так чтобы заставить его упасть как можно далее от горы и можно было бы окружить всю Землю или даже уйти в небесные пространства и продолжить удаляться до бесконечности. Подобно тому, как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, если она ей подвержена, или же иною силою, которая влечёт её к Земле, может быть отклоняема  от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите. Если бы сила была меньше соответствующей этой орбите, то она отклонила бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклонила бы её более, чем следует, и приблизила бы её от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. 

    Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении на заданной орбите с данною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силой будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.» 

*) Вот так Ньютон вводит, поразившее всех современников, понятие о Динамической системе, или как её часто называют механики "Задача расчёта динамики" движения тела! 

3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

     (Далее, (в кавычках «…»)  приводятся цитаты из учебника: Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том1. Механика 2005г. МФТИ.  и из «Начал»И.Ньютона)

      В качестве  Первого закона движения Ньютон принял закон инерции, высказанный в частной форме еще Галилеем. 

   Согласно этому закону тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. 

    Для примера, приведём, два равноценных варианта Первого закона из «Начал» в переводе А.Н. Крылова:

«Всякое тело продолжает пребывать в своём состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояние»,   или  как второй вариант этого же перевода:

 «Всякое тело удерживает своё состояние покоя или  равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не  понуждается приложенными силами изменять это состояние».

  Такое тело называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции. Свободных тел,  говоря точно, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия беспредельно уменьшаются, мы и приходим в пределе к представлению о свободном теле и свободном движении.

  Итак, всякое тело оказывает сопротивление при попытках  изменить величину (модуль)  или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Так, сообщить одно и то же ускорение большому камню значительно труднее, чем маленькому мячику.  Мера инертности тела называется его массой, которая пропорциональна количеству вещества в теле.   Чем больше масса тела, тем оно инертней и тем труднее изменить вектор скорости этого тела.

    В качестве эталона для измерения массы тел условились  взять массу определенного тела  и считать её равной единице. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно.

     В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов. Приближенно килограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при температуре 4 °С. Тысячная доля килограмма называется граммом».

3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела

  « Здесь, однако, возникает следующая трудность. Как убедиться в том, что тело не подвержено внешним воздействиям? Об этом нельзя судить только по отсутствию ускорений. Нужны какие-то другие независимые способы. Иначе закон инерции потерял бы всякое содержание. Вполне удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует.

  В отсутствие внешних воздействий мы убеждаемся по отсутствию растягивающих пружин или веревок, которые тянут тело, по отсутствию тел, которые давят на него, т. д.

       Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, сильным и слабым взаимодействиям. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные  - на расстояниях порядка 10^-13 см, слабые на расстояниях порядка 10^-16 см. В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.

   Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами дальнодействующими. С расстоянием они убывают медленно. Если это статические силы, то они убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Если же они переменные (электромагнитные волны), то убывание происходит еще медленнее — обратно пропорционально расстоянию. Только благодаря электромагнитным волнам (свет, радиоизлучение, рентгеновское излучение), исходящим от планет, звезд, пульсаров, галактик и пр., мы и знаем о существовании этих небесных объектов. Поэтому нет оснований утверждать, что удаленные источники не возбуждают заметных электромагнитных и гравитационных полей в рассматриваемой нами области пространства. Однако в отсутствие электромагнитных полей всегда можно убедиться, так как они действуют по-разному на  положительные и отрицательные заряды, из которых состоят тела. Под действием таких полей возникло бы некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов, которое можно было бы обнаружить на опыте. Заряженный шарик, помещенный в одну и ту же точку пространства, двигался бы по-разному в зависимости от того, заряжен он положительно или отрицательно. Все имеющиеся факты не противоречат утверждению, что удаленные тела Вселенной не возбуждают сколько-нибудь заметных статических электромагнитных полей в малых областях пространства (порядка размеров Солнечной системы или Галактики).

  О гравитационных полях этого нельзя сказать с той же уверенностью. Но если бы такие поля и существовали, то с ними можно было бы не считаться. Дело в том, что всем телам, независимо от их состава, одно и то же гравитационное поле сообщает в точности одинаковое ускорение. Статическое гравитационное поле удаленных тел Вселенной в малых областях пространства можно считать практически однородным.

      Можно ввести систему отсчета, свободно падающую в таком однородном  гравитационном поле. На явлениях, происходящих в такой системе отсчета, наличие этого однородного гравитационного поля никак не сказывается. Здесь все происходит в точности так же, как в кабине космического корабля, свободно движущегося в космическом пространстве. В такой кабине космонавты не чувствуют наличия поля тяготения (невесомость)».

*) примечание: см. также ниже раздел  7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты. 

3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат

  « В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике.

   Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно,  реально движущееся равномерно тело будет казаться движущимся ускоренно.

  Отсюда следует, что закон инерции не может быть справедлив во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчета. Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета.

     Попробуем взять гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую системой Коперника (по имени польского астронома Николая Коперника (1473—1543)). Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащими в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются световые лучи, приходящие от звезд в Солнечную систему. Из-за относительного движения звезд углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно изменяются с течением времени. Однако ввиду колоссальности расстояний до звезд изменения направлений координатных осей происходят настолько медленно, что, как правило, их можно не принимать во внимание. Система Коперника практически является инерциальной системой, по крайней мере при изучении движений, происходящих в масштабе нашей планетной (Солнечной) системы.

   Неинерциальность Земной системы отсчета объясняется тем, что Земля, во-первых, вращается вокруг собственной оси и, во-вторых, -  вокруг Солнца, т. е. движется ускоренно относительно системы Коперника. Впрочем, оба эти вращения происходят медленно. Поэтому по отношению к громадному кругу явлений происходящих на Земле Земная система отсчета ведет себя практически как инерциальная система. Обычные, сравнительно грубые наблюдения и опыты над движением тел не позволяют обнаружить отступления от инерциальности земной системы отсчета. Для этого требуются более точные и тонкие опыты.

 Вот почему при установлении основных законов динамики можно начать с изучения движения тел относительно Земли, отвлекаясь от её вращения, т. е. принять Землю за приблизительно инерциальную систему отсчета.» 

*) Примечание:   Рассуждения выше относятся, конечно же не к полётам спутников вокруг Земли, а к анализу движения обычных относительно небольших по масштабам расстояний земных тел. Например, при учёте движений, связанных с большими расстояниями, необходим учёт неинерциальности Земли, как, например, влияния силы Кориолиса для рек, или изменение ускорения притяжения на полюсе и экваторе и т.п.

4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ

 « Общие законы движения Ньютон сформулировал с использованием понятия СИЛЫ.   Представление о силе возникает в связи с ощущением мускульного усилия, которое у нас возникает при поднятии тяжелых тел или при приведении их в движение.

    Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую скорость тела. В инерциальной системе отсчета производная от скорости материальной точки по времени представляется уравнением.

     Эти уравнения выведены при условии, что масса тела является постоянной величиной и независящей от скорости тела.

m * (dv/dt)   = F;            или, в другом виде:      (dv/dt)    = F / m;                 (4.1)

m * (d²r/dt²) = F;           или, в другом виде:       (d²r/dt^{2 )} = F / m;                 (4.2)

  Величина F называется результирующей (геометрической суммой всех сил по правилу параллелограмма) силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Очевидно, что сила  F  является вектором (обладает направлением в пространстве), поскольку она равна производной вектора скорости по времени,  или же второй производной от координаты тела.

    Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная от скорости (или ускорение) равна действующей на неё результирующей силе, отнесённой к массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона,  а соответствующие ему уравнения — уравнениями движения материальной точки.

        Конечно, если движение тела (материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени t, то простым дифференцированием по времени (t)  можно определить величину действующей силы (представляющей собой геометрическую сумму всех сил, действующих на тело)  как функцию того же времени.»

     В связи с отсутствием понятия ускорения второй закон у Ньютона формулируется в виде изменения  количества движения, т.е. изменения величины произведения массы на скорость тела  (при постоянстве массы тела) так:

«Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой , по которой эта сила действует».

Примечание Крылова:   В непосредственной связи со вторым законом находится Лемма X, в которой показывается, что в пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени. Эта Лемма в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению.

             

               5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.

    «  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки. Одну из сил, согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую — противодействием.

     Формулируют третий закон следующим образом:

     Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

     Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление. Действие — давление камня на стол — обусловлено деформацией камня, противодействие давление стола на камень — обусловлено деформацией стола.   В основе подразделения сил на «действующие» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие.

    Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега.

       Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую  из сил назвать действием и какую противодействием - это в большинстве случаев вопрос соглашения. »

    Формулировка Третьего закона у Ньютона:

«Действию всегда есть равное противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.»

Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своём собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно,  что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут пропорциональны массам тел, ибо количества движения  получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений. 

     И вот весьма важное Следствие IV, посволяющее выбрать точку для размещения начала системы координат, в которой планируется рассчитывать траектории движения различных тел, т.е. решать Динамическую задачу, как её поставил сам Ньютон выше в ОпределенииV.

Следствие IV

  «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения;    поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится  в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»

   Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел надо всегда рассчитывать по движению центра  тяжести их.

*) Примечание: В современном механике центр тяжести заменяется на более точное понятие центра масс системы, или центра инерции системы(см., например, книгу М.А. Айзермана "Классическая механика", стр.73). 

   Центр тяжести и центр инерции системы тел практически совпадают при условии размещения рассматриваемых тел в однородном внешнем поле ускорения от притяжения планетой или Солнцем, т.е. постоянном по величине внещнего ускорения и действии его на все тела системы по параллельным линиям, проще говоря, при постоянном векторе внешнего ускорения.   Использование центра инерции системы тел Солнечной системы для размещения в нём начала инерциальной систем отсчёта  (это, так называемая, барическая система (барсистема)) будет весьма правильным решением для избавления её от всех вращательных движений, присущих даже самому Солнцу из-за  его вращении вокруг центра масс Солнечной системы, расположенныму, иногда даже вне пределов сферы самого Солнца (например, при "параде планет", когда они выстраиваются в одну линию относительно Солнца и совместным количеством движения сильнее всего смещают центр инерции относительно центра масс Солнца.

                                                                                 Следствие V

  « ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ друг по отношению к другу тел, заключённых в каком-либо пространстве, ОДИНАКОВЫ, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения.»

    Следствие VI

« Если несколько тел, движущихся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут двигаться друг относительно друга так же, как если бы сказанные силы на них не действовали.» 

Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлению параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по второму закону), то они ни в чём не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.

*) Примечание:

     Именно это Следствие VI, было использовано автором данного комментария (метод "обращения движения в обратную сторону" относительно вектора внешнего ускорения от Солнца, т.е. его векторное вычитание из центров масс для всех рассматриваемых тел) для обоснования перехода расчёта движения Луны относительно Земли из Солнечной системы координат (задачи "трёх тел") в Земную (задаче "двух тел"), естественно с учётом некоторой фактической  неодинаковости как по величине внешнего ускорения Солнца, так и небольшой их непараллельности для Луны и Земли, да к тому же и при наличии годового вращения гравитационного поля Солнца относительно Земной группы тел.    Однако, за счёт применения метода учёта ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ (а неполной величины!) от внешнего возмущающего ускорения Солнца, т.е. компенсации влияния этой неоднородности относительно начала Земной системы отсчёта практически удалось скомпенсировать влияние всех этих отклонений от идеальных условий, оговоренных в данном СледствииVI.    Кроме того начало системы отсчёта (с учётом того, какие тела рассматриваются) также размещается ещё и в центре инерции рассматриваемой системы тел (в её барцентре, см. выше примечание к Следствию IV).

 

                                 6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА

         « Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения (его закон "обратных квадратов"), согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:                                

                                                     F = G * (M*m)  /  r²  ;                                 (6.1)

  Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения.

 Коэффициент пропорциональности G, входящий в формулу и введённый позже в употребление, один и тот же по величине для всех тел. В этом смысле коэффициент G является универсальной постоянной. Это одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.

       Измерения G современными методами привели к следующему результату на сегодняшний день:

             G = (6,6725 ±0,0005) * 10^-8 дин * см² * г^-2   =  (6,6726±0,0005)-10^-11  H * м² * кг^-2.  

    Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимно притягиваются с силой F = 6,67 • 10^-11 Н = 6,67 • 10^-6 дин. »

Для тел, находящихся в гравитационной области Земли, закон всемирного тяготения запишется так:

                            Fпр.= G * (M_Земли *m_тела)  /  (r _{тело-цмЗемли}) ²;                             (6.2)

    где r _{тело-цмЗемли} - расстояние от центра масс тела до центра масс Земли. 

Логично объединить три параметра в один, называемый ускорением земного притяжения:

                                           g (r) =  G * M_Земли  /  r _{тело-цмЗемли} ² ;                                               (6.3)

     И тогда сила притяжения Земли примет простое выражение по типу 2-го закона Ньютона для сил.  

                                           Fпр. = g (r) * m _тела;                                                                             (6.4)

    Для тел, расположенных на поверхности Земли (уровне океана), ускорение земного притяжения  было получено опытным путём для общепринятого среднего радиуса Земли  (r _Земли = 6,371*10⁶ м).

   g ₀ = G * M_Земли / r _{цмЗемли} ² = 9,78 (на экваторе) или 9,81 (на полюсе)м/сек² ≈9,80 м/сек²  (6.5)

    Как следует из всемирного закона тяготения (6.1) ускорение земного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и центром массы Земли.

    Логично избавиться при определении ускорения притяжения g(r) от произведения  двух неизменных параметров (G * MЗемли), поделив  выр. 6.3  на  6.5 .

    В итоге, получено выражение для ускорения гравитации в околоземном пространстве.

                              g   =  g _{0 *}  (r _{цмЗемли}  / r _{тело - цмЗемли} )² ;                                                      (6.6)    

    После подстановки расстояния до центра масс Земли (r тело-цмЗемли) в виде суммы  высоты полёта над уровнем океана (r_g0)  (т.е. расстояние от тела до высоты определения значения g0) и  среднего радиуса Земли (r_Земли) получим более подходящее для орбитальных полётов выражение для g :

                           g(r_g0)  =  g _{0 *}  ( r _{цмЗемли}  / (r _{цмЗемли}  + r_g0 ) )² ;                                              (6.7)

где:  g ₀ ≈ 9.8 м/сек² ,   r_g0 [м] – расстояние (оно же высота полёта над океаном) от тела до среднего уровня (поверхности) Земли, на которой и было определено  ускорение g ₀,   средний радиус Земли  -  r_{цмЗемли} = 6,3781*10⁶ м.

                     

                  7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра.

     При описании 2-го закона было введено понятие СИЛЫ, которое возникает у человека в связи с ощущением мускульного усилия, которое он должен развить при поднятии разных по массе тел или при приведении их в движение из состояния покоя. Для объективного измерения величины силы можно, например, использовать пружинные весы, называемые в физике динамометром (измерителем силы).

     На рис.1 показан более сложный прибор, называемый акселерометром, который тоже построен на базе пружины, но на нижнем конце пружины у него подвешено тело, определённой и постоянной массы для данного прибора. 

7.1 Устройство динамометра.

  Динамометр устроен ещё проще, чем акселерометр. К нижнему свободному концу пружины вместо измерительного тела подсоединена жёсткая тяга, выведенная через отверстие в дне корпуса наружу, к которой можно приложить внешнее усилие, например,  нажать ею на какой-либо тело или же подвесить груз определённой массы, а, следовательно, и определённой силы.  Например, в условиях гравитации на поверхности Земли сила притяжения груза к Земле будет равна в соответствии со  2-м законом 

чем на Земле, и динамометр покажет для гири массой в 1 кг измеренное значение силы веса ~ 0,17кГ на Луне вместо 1кГ на Земле. А человек массой 100кг на Луне будет давить на поверхность Луны с силой ~ 17кГ, вместо 100кГ в условиях Земли.  (Извиняюсь за применение устаревшей системы единиц (1кГ-силы вместо 9,81Ньютонов), но так как-то привычнее для нашего поколения.) 

7.2 Устройство акселерометра.

       Для летательных аппаратов (сокращённо ЛА) необходимо уметь определять на борту ЛА собственную траекторию полёта, скорость и ускорение движение аппарата относительно поверхности Земли., чтобы долететь в нужную точку над поверхностью Земли.      Для этого система управления  ЛА снабжается тремя датчиками ускорений, называемыми блоком акселерометров с осями чувствительности, направленными строго по трём осям связанной системы ЛА. Интегрирование  показаний акселерометров (после их предварительного проектирования из связанной системы в невращающуюся систему координат с использованием показаний углов ориентации связанной системы относительно невращающейся, получаемых от дополнительных гироскопических датчиков углов) позволяет определить сначала величины  проекций текущего ускорения центра масс ЛА, которые непрерывно интегрируются по времени с целью получения составляющих скоростей, а параллельно с этим идёт интегрирование самих составляющих скоростей,  позволяющее рассчитать уже декартовые координаты ЛА, т.е. его траекторию полёта в этой невращающейся системе отсчёта. 

       Акселерометр представляет собой дальнейшее развитие динамометра, к которому в нижней части пружины жёстко прикреплено измерительное тело определённой и постоянной массы (далее просто тело) и помещённое (в отличие от динамометра) в  полностью закрытый и герметичный корпус прибора.  Принципиальная разница между ними состоит в том, что динамометр, обычно используют для измерения сил  в статических неускоренных режимах, например, определения силы веса различных тел, т.е. их взвешивания в быту или для измерения сил в физических опытах.  А акселерометр применяют для измерения линейных ускорений движущегося объекта, т.е. в динамических режимах полёта ЛА, когда динамометр дополнительно снабжают небольшим измерительным телом постоянной массы, подвешенным на измерительной пружине,  что  позволяет производить измерения величины силы (по величине растяжения пружины), действующей на это измерительное тело при РАЗНЫХ величинах внешнего ускорения, сообщаемых корпусу прибора в виде геометрической суммы силы тяги двигателя и аэродинамического сопротивления атмосферы Земли. При этом измеренная величиа силы, приложенной к постоянной по величине измерительной массе, пропорциональна ускорению, действующему на акселерометр в соответствии со вторым законом Ньютона, что  и означает измерение акселерометром величины внешнего ускорения, действующего на корпус прибора.

      Внешнее измеряемое ускорение объекта сообщается корпусу акселерометра, закреплённого на движущемся объекте в нужном для измерения направлении, а тело, подвешенное на пружине, сопротивляясь по закону инерции этому разгону, вынуждено из-за упругой силы всё более растягивающейся пружины двигаться, в итоге, с тем же внешним ускорением, что и корпус прибора.  При этом по установившейся величине растяжения пружины можно, как и в динамометре, определить по шкале величину силы, приложенной к измерительному телу прибора, а поделив измеренную силу на известную постоянную измерительную массу тела, подвешенного к пружине, вычислить величину ускорения тела, которое в установившемся режиме соответствует величине внешнего ускорения, сообщаемого корпусу прибора за счёт его механической связи с корпусом ЛА.  Реально градуровка акселерометра выполнена не в величинах силы,  а в величинах ускорения, а иногда и в величине перегрузки, показывающей во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение на поверхности Земли(=9,81 м/сек²).

          На рис.1 и схематично показано устройство пружинного акселерометра. Далее для простоты будем называть акселерометр просто прибором.      Каким же способом формируется в приборе сигнал об ускорении?  Величина смещения пружины (Х) может быть измерена в акселерометре, например, потенциометрическим способом, с помощью жёстко закреплённого на подвешенном к пружине теле электрического металлического контакта (щётки), скользящего по проволочному линейному потенциометру, закреплённому на корпусе прибора и  запитанному постоянным эталонным  напряжением. При этом со скользящего контакта может быть получено измеренное напряжение U _{Wi измер}., пропорциональное величине растяжения пружины (Х) под действующим на тело ускорением и снятое с потенциометра напряжение можно пересчитать либо в единицы линейного ускорения, например, в [м/сек²], либо в уровнях перегрузки,  n =W_{i измер}  / g₀,    где g₀=9,81м/сек² – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли.  Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз ускорение, сообщаемое телу,  превышает ускорение свободного падения,  иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает обычную земную силу притяжения.

                                   7.3  Описание принципа работы акселерометра.

    Если корпус прибора покоится, т.е. не движется с линейным ускорением вдоль оси пружины прибора (назовём её измерительной осью прибора, вдоль которой производится измерение ускорения), то его пружина находится в свободном ненапряжённом (не сжата и не растянута) состоянии, тело прикреплённой к ней также сохраняет состояние покоя и показания прибора нулевые (нет ускорения).    Когда ЛА начнёт разгон для набора скорости за счёт включения тяги двигателя на максимальный режим центр масс ЛА  и все тела на борту аппарата начнут двигаться с ускорением, например, величиной W_{i изм.}, то корпус прибора, с измерительной осью выставленной вдоль продольной оси ЛА, также начнёт ускоряться с этим же самым ускорением, поскольку прибор жёстко закреплён на ЛА. Тело, повешенное на пружине и стремящееся сохранить свою скорость по 1-му закону инерции, начнёт также разгоняться в сторону этого ускорения за счёт всё большего растяжения пружины и, соответственно, возрастающему усилию растянутой пружины в соответствии с законом  Гука (по выр.4.2).

     Через небольшой интервал времени (так называемую "постоянную времени прибора"), когда ускорение тела прибора сравняется с ускорением его корпуса величина растяжения пружины  Х  покажет на шкале пружины ускорение, измеренное прибором (см. выр.4.3).

                                  W_тела = Wi _изм. = Fпр / m_тела = (k * X) / m_тела ;      (4.3)

    Из 4.3 следует, что измеряемое ускорение однозначно определяется величиной растяжения пружины X (см. выр.4.4),  поскольку коэффициент жёсткости пружины (k) и масса измерительного тела прибора (mтела) являются конструктивной постоянной прибора (k _{констр)}.  А величины коэффициента жёсткости пружины и массы тела выбираются разработчиками прибора такими, чтобы обеспечить прибору требуемый диапазон измеряемых ускорений с учётом ограничений на длину прибора, а значит и на максимальный диапазон растяжений для пружины  (Хмин-Х мах).

                                   W_{i изм.} = (k / m_тела ) * X  =  k _констр * Х;                   (4.4) 

                        7. О колебательном характере процесса измерении ускорения

       Рассмотрим работу прибора при скачкообразном появлении внешнего УСКОРЕНИЯ, сообщаемого корпусу прибора скачком от нуля до некоторого значения (W_{i измер.}) постоянной величины (для простоты рассуждений),  что имеет место, например, при включении двигателя самолёта на полную тягу в момент начала разгона самолёта.

     Корпус прибора (будучи закреплённым на объекте, например, вдоль продольной оси самолёта)  вместе с  верхней точкой подвеса пружины к корпусу прибора начнёт двигаться с приложенным внешним ускорением (W_{i измер.}), однако тело подвешенное к противоположному свободному концу пружины в соответствии с 1-м законом инерции будет стремиться сохранить своё свободное неускоренное состояние покоя и расстояние между измерительным телом и точкой подвеса прижины к корпусу прибора начннёт возрастать, но при этом растяжение пружины Х начнёт увеличиваться, что приведёт к появлению в точке соединения пружины с телом соответствующей нарастающей упругой  силы пружины:     Fпр = k * Х ,  которая приведёт в соответствии со 2-законом Ньютона к появлению УСКОРЕНИЯ у тела, т.е. к его ускоренному движению в направлении упругой силы пружины:   

                              (d²Х/dt²⁾ = F_пр / m_тела =  (k * Х) / m_тела                        (4.5)

   При этом первый интеграл от этого ускорения даст скорость движения (V=dХ/dt) тела, а второй интеграл – величину отклонения пружины от её свободного состояния (Х).

   Процесс увеличения  растяжения  пружины (Х) будет продолжаться пока всё возрастающая упругая сила пружины НЕ СООБЩИТ телу, подвешенному на пружине ускорение равное внешнему измеряемому ускорению (W_{i измер.}) .  Когда внешнее ускорение корпуса прибора и ускорение тела, подвешенного на пружине,  совпадут, то по величине растяжения пружины Х  с учётом тарировки пружины (об этом несколько ниже)  можно получить данные о  величине внешнего ускорении W_{i измер.}  Назовём эту величину  растяжения пружины  балансировочным значением измеренного внешнего ускорения (Х_Wiизм), а соответствующее ему напряжение сигнала прибора, снимаемое со щётки потенциометра,  U _{Wi измер.}

     Однако процесс растяжения пружины в момент сравнивания внешнего ускорения с ускорением тела  может и НЕ прекратится, а продолжиться и будет носить далее характер слабо затухающих синусоидальных колебаний относительно балансировочного значения ХWiизм.  Колебательность тела на пружине появится, если в конструкцию прибора не будет заложено специальных мер  демпфирования  этих колебаний  (см. Рис. 2  для случая с k_демпф1=0). 

     Причина этих колебаний в том, что незадемпфированное тело не остановится в момент совпадения ускорений корпуса и тела прибора,  а продолжит движение в ту же сторону внешнего ускорения из-за набранной к этому моменту скорости тела  (см. выше упоминание о первом интеграле от ускорения тела, равным скорости движения тела V)  и будет в соответствии с 1-м законом инерции по-прежнему продолжать увеличивать растяжение пружины Х по инерции с набранной им скоростью. Теперь уже добавочная сила пружины из-за её дополнительного растяжения  (Х-Х_Wiизм)  начнёт процесс гашения этой скорости до нуля.  После того как дополнительное растяжение пружины, вызванное инерцией тела за счёт набранной скорости, остановит тело, обнулив его скорость, оно начнёт своё ускоренное движение  в обратную сторону к положению балансировочного значения (Х_Wiизм),  потому что пружина будет растянута сверх балансировочного положения и избыточное растяжение пружины (Х >Х_Wiизм), которое погасило скорость движения тела  до нуля, продолжит её уменьшать, вызвав рост скорости уже в обратном направлении.   На обратном пути тело также может проскочить балансировочное положение Х_Wiизм, поскольку опять может накопить какую-то скорость в процессе ускоренного движения к положению равновесия, равную интегралу от ускорения,  и процесс колебаний продолжится.          Колебания измерительного тела смогут затухнуть ТОЛЬКО при наличии сил, тормозящих скорость перемещения тела, например, силы трения тела о стенки корпуса прибора.

                  7.5  Методы снижения  колебательности процесса измерения ускорения

     Для борьбы с колебательным характером переходного процесса от одного уровня измеряемого ускорения к другому новому значению, необходимо приложить к колеблющемуся телу дополнительную силу, тормозящую скорость его движения и пропорциональную величине скорости, т.е. демпфирующую (гасящую скорость тела) силу, выражаемую формулой:

                        F_демпф.= - k_демпф * V;                                                                          (4.6)

  где:  минус означает, что демпфирующая сила всегда направлена противоположно  вектору скорости.

    Если поделить  демпфирующую силу на массу тела, то, в соответствии со 2-м законом получим величину ускорения (см. 4.7), гасящего избыточную скорость движения тела, что нам и нужно для демпфирования колебаний тела относительно балансировочного положения.

                          W_демпф.= - (k_демпф *V) / m _тела;                                                       (4.7)

    Таких тормозящих сил есть немало в природе, например, это всем известная СИЛА ТРЕНИЯ измерительного тела о стенки цилиндра, относительно которых тело скользит и испытвает тормозящее влияние от силы трения.  Однако технически сложно подобрать стабильную по условиям эксплуатации  величину требуемого коэффициента демпфирования (kдемпф) для сил трения.     Можно  воспользоваться также СИЛОЙ ВОЗДУШНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ, когда воздух, заключённый  с двух сторон от измерительного тела в герметичной области перемещения тела при движении тела сжимается в области, на которую надвигается измерительное тело и начинает перетекать в соседнюю высвобождаемую телом область с разряжением воздуха через специально спрофилированные продольные шлицы с определённой калиброванной площадью. При этом тело выполняет роль поршня сжимающего воздух и чем меньше площадь щели для перетекания воздуха тем сильнее сжимается воздух и растёт сила, противодействующая перемещению тела, иначе говоря тем больше значение коэффициента демпфирования  k_демпф.  Вспомните, например, резкий рост ваших усилий при попытке увеличения скорости накачивания велосипедным насосом.

      Регулируя величину площади сечения для перетекания воздуха между полостями разделёнными измерительным телом) можно  подобрать такое значение k_демпф у прибора, при котором переходный процесс будет носить быстрозатухающий колебательный характер и даже  апериодический, т.е. плавно подходящий к  значению Х_Wiизм (без перерегулирования), т.е. Х(t) =< Х_Wiизм. (см., например,  на Рис.2 процесс при  k_демпф3).

     Однако, у всех без исключения способов демпфирования есть общий неизбежный недостаток, связанный с тем, что введение дополнительных сил  демпфирования СНИЖАЕТ скорость растяжения пружины (dX/dt)  в сравнении с вариантом  без демпфирования (k_демрф=0).  Поэтому  время выхода на момент измерения, когда  Х ~= Х_Wiизм, (т.е. величина постоянной времени акселерометра, которую желательно иметь как можно меньше для снижения запаздывания при управлении подвижными маневрирующими ЛА типа зенитных ракет)  будет несколько больше, чем при слабозатухающем процессе.    

 Но и показания слабозатухающего переходного процесса (с k_демпф1=0) нам вовсе не нужны из-за их замусоренности свободными колебаниями измерительного тела не имеющими ничего общего с реальным измеряемым ускорением.   Апериодический процесс измерения (с k_демпф3) весьма затянут по времени нарастания выходного сигнала и также вносит свои искажения, состоящие в занижении  показаний относительно реального измеряемого ускорения. При интенсивном входном знакопеременном измеряемом ускорении его показания будут сильно занижены относительно реального измеряемого ускорения.

    В итоге, на практике выбирают обычно вариант с k_демпф=k_демпф2 с небольшим забросом в 5-10% от ступенчатого входного уровня измеряемой величины (кривая синего цвета) и обладающий неплохой средней скоростью нарастания выходного сигнала при некоторой неизбежной дополнительной потере в быстроте реакции прибора на входное ускорение (небольшом росте постоянной времени запаздывания) мы получаем лучшую точность измеренного ускорения, менее «засорённую» паразитными собственными колебаниями измерительного тела в переходном процессе измерения.  (сравните три процесса на Рис.2 ).

       Можно также привести ещё один пример уже электромагнитного демпфирования колебаний, когда электропроводящая пластинка, закреплённая на теле акселерометра будет перемещаться вместе с ним без физического контакта  над постоянным линейным магнитом, закреплённым в корпусе прибора.       При относительном  перемещении в пластинке за счёт поля магнита в ней будут наводиться токи (так называемые токи Фуко), которые взаимодействуя своими полями с полем внешнего постоянного магнита будут тормозить скорость относительного перемещения пластинки над магнитом. Этот метод демпфирования часто используют в стрелочных электроизмерительных приборах для демпфирования колебаний измерительной стрелки.

7.6  О невозможности измерения акселерометром  гравитационного ускорения притягивающей планеты.

    Как уже отмечалось выше, акселерометр принципиально не способен измерять ускорение, вызванное действием гравитации на прибор, т.к однородное гравитационное поле, воздействуя ОДИНАКОВО на все элементарные массы прибора,  сообщает ОДНО И ТО ЖЕ УСКОРЕНИЕ  всем частям прибора и поэтому НЕ ВОЗНИКАЕТ НИКАКИХ  РАЗНОСТНЫХ  СИЛ  между подвижной и неподвижными частями прибора, а поскольку нет разностных сил, то и нет перемещений, нет растяжения пружины  и нет никаких показаний прибора.

     Поэтому УСКОРЕНИЕ свободного падения космического корабля на какую-либо планету или Солнце под действием их гравитационного притяжения НЕ МОЖЕТ БЫТЬ измерено на борту корабля никакими внутренними приборами без привлечения какой-либо дополнительной внешней информации о притягивающей нас планете или звезде.

  Измерить в космическом полёте гравитационное ускорение от ближайшей планеты можно только  с првлечением на помощь  ВНЕШНЕЙ информации, например,  при локации планет радиолучом с получением отраженного сигнала и выделением информации о скорости сближения с притягивающей планетой и  вычислении производной от скорости  для определения  ускорения в направлении на планету, либо с применением обработки оптических данных по временному параллаксу центра притяжения на фоне неподвижных звёзд.

   В режиме «свободного падения» физическое ощущение состояния «невесомости» человеком никак не будет зависеть, как и у акселерометра,  от самой величины гравитационного ускорения будь оно величиной 1*g (при полёте вокруг Земли в орбитальной станции)  или, например,  25*g (при свободном падении на Юпитер).

 Это поразительный случай воздействия на  человека  гравитационной ускорения от воздействия массовой силы притяжения, когда он может лететь с любым по величине линейным ускорением, не ощущая никакой физической нагрузки от величины этого ускорения на свои внутренние органы, а находясь лишь в сотоянии лёгкой «невесомости».  Поскольку человек при свободном падении к притягивающему центру планеты, как и акселерометр, НЕ испытывает действия дополнительных разностных внутренних сил, поддерживающих внутренние органы человека относительно его скелета в нужном положении, (например, как брюшная мышечная диафрагма удерживает верхнюю массу органов человека от их опускания вниз к тазу под действием сил притяжения на поверхности Земли), поскольку все его органы и скелет летят с одинаковым гравитационным ускорением и нулевыми относительными скоростями.

 Практика показала, что максимально-допустимое для здоровья человека ускорение от внешних негравитационных сил, например,  от аэродинамической подъёмной силы, при совершении самолётом интенсивных манёвров уклонения, составляет порядка (8-12)*g  даже для тренированных лётчиков (и то в течение нескольких секунд) с использованием специальных противоперегрузочных костюмов. Естественно, наибольшую перегрузку человек может выдержать в лежачем положении относительно вектора действия перегрузки в направлении грудь-спина, т.е. в направлении, перпендикулярном позвоночнику тела, а не вдоль его, поскольку при этом величина возможных смещений внутренних органов при появлении в органах сил, противодействующих большим перегрузочным силам, гораздо меньше, чем в направлении вдоль позвоночника и тем самым снижается величина опасных больших относительных растяжений внутренних органов, могущих привести к разрыву тканей внутренних органов.

                                           7.7  Тарировка акселерометра

       Несмотря на то, что акселерометр не может в принципе измерять ускорение от действия гравитации, однако, если его поставить продольной осью вертикально на поверхность Земли, то он покажет ускорение, численно равное гравитационному ускорению g₀ = 9.8 м/сек² , правда, направленному в другую сторону, т.е. вверх, хотя  при этом корпус прибора покоится на Земле с нулевым истинным ускорением!

           Кажущийся парадокс объясняется тем, что акселерометр при этом измеряет не ускорение гравитации, а ускорение от ДРУГОЙ СИЛЫ – СИЛЫ ОПОРЫ корпуса на Землю, которая численно равна силе притяжения к Земле в соответствии с 3-им законом Ньютона , т.к. тело находится в покое на поверхности земли и обе силы друг друга уравновешивают. Однако из двух взаимно-уравновешенных сил прибор  может реагировать ТОЛЬКО на одну из сил – на реакцию опоры Земли и измеряет её величину,  передаваемую от корпуса прибора через верхнюю точку подвеса на пружину, идущую к измерительному телу,  т.е.  для тела акселерометра реакция опоры земли является ВНЕШНЕЙ негравитационной силой, ускорение от которой он и измеряет.      

     И, наоборот,  если  акселерометр начнёт свободно падать с некоторой высоты под действием только одной гравитационной силы притяжения Земли, то пружина его примет своё несжатое свободное ненапряжённое  состояние и прибор покажет НУЛЕВОЕ ускорение, поскольку все элементарные массы частей прибора испытываю ОДНО И ТО ЖЕ ускорение свободного падения, но при этом НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ УСКОРЕНИЙ между корпуса прибора и его измерительным телом НЕТ, то и измерить ускорение он не может, хотя весь прибор пребывает в состоянии свободного падения под ДЕЙСТВИЕМ ОДНОЙ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  Земли  и падает с ускорением свободного падения, равным g, а показания его будут всё равно нулевыми, не зависящими от величины реального гравитационного ускорения свободно падающего тела.

     В условиях полёта над Землёй эту ошибку в показаниях ВЕРТИКАЛЬНОГО ускорения на 1*g компенсируют довольно просто за счёт программного вычитания из измеренного вертикального «кажущегося» ускорения расчётной величины ускорения g(h) с учётом её зависимоcти от высоты полёта над Землёй (см выр.6.7).

                                             Немного о тарировке показаний акселерометра.

   Для точной тарировки акселерометра в широком диапазоне измеряемых ускорений можно использовать, например,  вращающуюся центрифугу, предварительно  направив  измерительную ось акселерометра точно на ось вращения центрифуги, и замеряя при этом сигнал напряжения с акселерометра и ставя ему в соответствие расчётную величину центростремительного ускорения, определяемую  по известной формуле:   

                                                                Wцентр.= Ω²  * R;       

где:  Ω - угловая скорость вращения центрифуги в [рад/сек],  а  R – расстояние в [м] от оси вращения до акселерометра, а точнее - до центра масс измерительного тела, подвешенного на пружине.

    Кроме того, прибор можно промасштабировать не в  только единицах линейного  ускорения  в [м/сек²], а и в уровнях перегрузки,  n = W_{i измер}  / g₀,    где  g₀ = 9,81м/сек² – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли.  Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение свободного падения, или иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает нормальную силу веса земной гравитации.   

    При этом вполне допустим и нелинейный характер тарировочной кривой с отступлением от области линейной упругости пружины при крайних значениях ускорений, лишь бы характеристики жёсткости пружины были стабильны и повторяемы при повторных циклах измерений (т.е. при отсутствии остаточных деформаций у измерительной пружины прибора) и тогда точное измеренное значение ускорения будет определено с учетом его тарировочного графика. 

                                  8. Пример использования акселерометров

                             в системах управления летательными аппаратами.

      Для измерения величины ускорения, с которым движется вдоль заданного направления какой-либо объект, например, самолёт или ракета, следует использовать акселерометр, измеряющий линейное ускорение вдоль своей измерительной оси.

      Для определения полного вектора ускорения объекта, летящего  в трёхмерном пространстве, например, самолёта или ракеты, необходимо и достаточно расположить ТРИ датчика ускорений по трём декартовым взаимно-перпендикулярным осям (OX1, OY1, OZ1) , связанными с телом, (см.рис.3). Этих 3-х датчиков будет необходимо и достаточно, чтобы определить пространственную траекторию движения данного объекта в  3-мерном пространстве, и его полную СКОРОСТЬ и УСКОРЕНИЕ относительно земной системы координат (с.к.) .

      При этом надо только предварительно  пересчитать (спроектировать) измеренные ускорения из связанной системы координат объекта (OX1, OY1, OZ1) в земную систему координат (OXз, ОYз, OZз).  А для этого на борту объекта понадобятся  ещё дополнительные гироскопические приборы для определения УГЛОВОГО положения объекта (углы тангажа, рыскания и крена) относительно земной системы координат. Методика проектирование ускорений между связанной и земной системами координат в данной статье рассматривать не будем.  

      Затем,  за счёт интегрирования УСКОРЕНИЙ, спроектированных в  земную систему координат, получим сначала проекции СКОРОСТЕЙ движения  относительно земной системы координат,  а после интегрирования  скоростей получим и  ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ объекта в земной с.к., т.е. его полную траекторию.

     Кстати, по вертикальной оси земной системы координат OYз надо добавить ускорение свободного падения g(h) со знаком минус (см.ниже выр. 6.7),  к измеренному акселерометром «кажущемуся» вертикальному ускорению поскольку, как уже неоднократно отмечалось, он не способен измерять ускорение от воздействия гравитации Земли на движение летательного аппарата. Это и понятно, т.к. например, в горизонтальном полёте акселерометр измерит вертикальное ускорение от подъёмной силы корпуса, равной численно силе притяжения аппарата к земле. Вычтя из этого измеренного ускорения акселерометра, называемого «кажущимся», и численно равного g , вышеупомянутую поправку в виде  (– g) ,  получим в сумме НУЛЕВОЕ вертикальное ускорение, а, следовательно, и нулевую вертикальную скорость в режиме горизонтального полёта, что полностью соответствует горизонтальному полёту летательного аппарата.

 

P.S. Следующая публикация будет на тему вывода уравнений для скорости и ускорения тел для так называемого (в теоретической механике) "сложного движения" точки, позволяющих распространить методику расчёта динамики движения тела, применяемую в инерциальных системах с использованием законов Ньютона, на неинерциальные вращающихся системы и движущиеся в общем случае с линейным ускорением начала системы координат.

    Георгий 01.03.2020г. 23ч55мин время Моск.