Дифференциальные уравнения кеплеровского движения и баланс сил инерции и гравитации.
Опубликовано Ingus в пн, 27/01/2014 - 22:28
Нет никакой инерции. Только гравитация.
Однако...слова Самого так и стоят перед глазами.
«Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
«Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее.
От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врожденная сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии».
«Всеобщее тяготение подтверждается явлениями даже сильнее, нежели непроницаемость тел, для которой по отношению к телам небесным мы не имеем никакого опыта и никакого наблюдения. Однако я отнюдь не утверждаю, что тяготение существенно для тел. Под врожденною силою я разумею единственно только силу инерции. Она неизменна. Тяжесть при удалении от Земли уменьшается».
Цитировано по
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Научное издание. Под редакцией Л.С.Полака. Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. Предисловие Л.С.Полака.(М.: Наука, 1989. - Классики науки)
- Ingus's блог
- Войдите на сайт для отправки комментариев
- 7543 просмотра
Иван! В который раз обращаю твое внимание на то, что ты не понимаешь всей совокупности законов Ньютона. Напоминаю, если ты забыл.
Первый закон. Если сумма сил, действующих на тело, равна нулю, то тело совершает прямолинейное равномерное движение. (На самом деле эмпирический закон выглядит несколько не так, но здесь это не важно).
Ворой закон. Ускорение тела в данной точке пространства и данный момент времени равна силе, действующей на тело, деленной на массу тела.
Третий закон. Сила, приложенная к первому телу со стороны второго, равна по величине силе действующей на второе со стороны первого, но направлена в противоположном направлении.
Отсюда следует, что на тело, движущееся по орбите (силы сопротивления и пр. не учитываем), действует только одна сила - сила тяготения. Никакой силы инерции нет. Соответствующие уравнения движения в декартовой системе координат выглядят, согласно второму закону, так:
$$
m \overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}_{g}=-\frac{mM G\overrightarrow{r}}{r^3}.
$$
Слева - ускорение на массу, справа - сила тяготения. Больше здесь ничего нет! Из этого, наконец, можно сделать вывод о том, что твое упорство бессодержательно? Все, что ты интерпретируешь как какие-то дополнительные силы, связано с формальной записью уравнений в полярной или сферической системе координат. Выдергивать цитаты из Ньютона бессмысленно. Нужно просто применять теорию Ньютона правильно. Поэтому предлагаю тебе исправить текст, удалив неверные трактовки. Иначе придется материал удалить. Явно ошибочные утверждения или трактовки на сайте держать нельзя. Это может вызвать недоверие к самому сайту.
Виктор Михайлович! Уравнение движения, которое Вы написали не является таковым.
Вот уравнение движения. Кеплеровского движения:
где - мю- гравитационный параметр, С - удвоенная секторальная скорость или удельный орбитальный момент импульса.
Дайте его математикам - они получат кеплеровский эллипс.
Решая Ваше уравнение, можно ли получить верную зависимость r(t)? Боюсь что нет. Или я не прав? Может у классиков есть решение выписанного Вами уравнения с получением зависимости r(t)? Прошу Вас дать мне ссылку.Это принципиальный вопрос.
Я временно удаляю материал, чтобы исправить "неверные" трактовки. Вспоминаются почему-то "неверные" в исламе...
Все без исключения авторы обходят этот проклятый вопрос о дополнительных силах, решая Задачу Кеплера через энергии. Кроме Дубошина. Я понял, что нельзя цитировать Ньютона. Нужно "правильно применять его теорию". Я кстати слышал, что силы появляются парами...
Но молчу. Прошу Вас не удалять тексты. Расчетная часть мне дорога. Она правильно все считает. А интерпретирует пусть каждый сам.
Иван! Кеплеровские орбиты получаются из той системы, которую я тебе привел.
В твоем уравнении неизвестно откуда появилась сила, обратно пропорциональная кубу расстояния. Это не сила Всемирного тяготения. Решение уравнений, которые я привел, есть, например, в курсах общей физики Матвеева и Сивухина. У Матвеева - это первый том - Механика. У Сивухина, видимо, тоже, но я не помню точно. Есть и у Дубошина, насколько я помню.
Построение решения такое. Рассматриваем уравнения:
$$
m \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-\frac{mM G\overrightarrow{r}}{r^3}.
$$
Умножаем уравнение на $\dot{\overrightarrow{r}}$ скалярно. Приходим к закону сохранения энергии:
$$
\frac{m}{2}\overrightarrow{v}^2-\frac{mM G}{r}=E
$$
Переходим в сферические координаты, в которых $z$ - ортогональная к плоскости орбиты координата, а $x$ и $y$ лежат в плоскости орбиты. В этой системе координат закон сохранения имеет вид:
$$
\frac{m}{2}{v}_r^2+\frac{m}{2}r^2\dot{\varphi}^2-\frac{mM G}{r}=E
$$
При этом еще выполняется закон сохранения момента импульса, его можно получить, умножая уравнения ньютона векторно на $\overrightarrow{r}$. Это дает:
$$
m r^2\dot{\varphi}=L={\rm const}.
$$
Отсюда получаем закон сохранения энергии в виде:
$$
\frac{m}{2}{v}_r^2+\frac{L^2}{2m r^2}-\frac{mM G}{r}=E.
$$
Если сделать замену переменных $\rho = r^{-1}$, и перейти от переменной времени к углу, исходя из закона сохранения момента импульса, то приходим к уравнению:
$$
\left[\left(\frac{d\rho}{d\varphi}\right)^2+\rho^2\right]\frac{L^2}{2m^2}-mM G\rho=E.
$$
Отсюда получаем закон сохранения гармонического осциллятора со смещенным положением равновесия:
$$
\left[\left(\frac{d\rho}{d\varphi}\right)^2+\rho^2\right]\frac{1}{2}-\frac{m^3M G}{L^2}\rho=\frac{Em^2}{L^2}.
$$
Преобразуя, находим:
$$
\left[\left(\frac{d\rho}{d\varphi}\right)^2+(\rho-\rho_0)^2\right]\frac{1}{2}=E_1
$$
Величины $\rho_0$ и $E_1$ выражаются через $m,L,M.G$. Поскольку это уравнение гармонического осциллятора, то решение сразу можно записать в виде:
$$
\rho = \rho_0 + A\cos(\varphi).
$$
Отсюда сразу следует решение в виде эллипса:
$$
r=\frac{1}{\rho_0+A\cos(\varphi)}.
$$
Так кратко выглядит процедура построения решения. Все промежуточные вычисления пропущены.
Виктор Михайлович!
Спасибо за столь подробные объяснения. Вывод уравнения ТРАЕКТОРИИ r(фи) через энергии мне прекрасно знаком.
Я говорил о законе ДВИЖЕНИЯ r(t).
Вернемся к Дубошину.
Перепишем первое уравнение: при z=0, лямбда= фи - истинная аномалия
Второе уравнение - это закон сохранения момента импульса
Правда красиво?! Самое главное, что если в Ваше итоговое r(фи) подставить фи(t) то получится мое r(t) из необычногоо ДУ с обратным кубом. Я проверял).
Но вот только где Вы возьмете фи(t)? (Знаю-знаю. У Арнольда)
Итог. Численное решение вышеуказанного ДУ дает закон движения по кеплеровскому эллипсу. Это решение выдерживает любую проверку. Хотите верьте, хотите проверьте.
Запрещенная трактовка этого ДУ: слева -радиальное ускорение точки , справа - пара сил. Конечно физик во мне кричит, что есть только одна сила! Гравитации. Но вот что я скажу, Виктор Михайлович! Силы появляются парами. Переменное электрическое поле порождает магнитное и наоборот. Переменное в данном случае гравитационное поле (из-за эллиптичности траектории) порождает это самое, непонятное, второе ускорение. Так что, в некотором смысле, все решает гравитация. Но нельзя сбрасывать со счетов кинетический момент.
Иван! Когда ты пишешь какие-то уравнения, то необходимо указывать, в каких координатах ты что-то записываешь. Я тебе четко указал, что у меня уравнения записаны в декартовой системе кооординат.
Ты мне привел уравнение без указания на систему координат. Из последнего сообщения следует, что ты пишешь уравнения в цилиндрической системе координат, да еще при условии, что орбита лежит в плоскости $x-y$. В этом случае непонятно, что ты хочешь получить в конце концов? Кеплеровское движение - это движение по эллипсу. Из твоего уравнения это никак не следует. Вывод закона движения по эллипсу делается так, как я привел тебе.
Но оказыаается ты хочешь получить нечто другое. Ты хочешь вывести уравнение Кеплера, о котором мы говорили раньше? Причем здесь Арнольд? Когда известна траектория, можно посчитать интеграл по времени. Это стандартная процедура при расчетах в механике. Повторять не буду. Никакого секрета нет. В курсе общей физики этот вопрос не рассматривается, поскольку механику читают на первом курсе в первом семестре. Для таких вычислений надо уметь интегрировать. Поэтому уравнение Кеплера или его аналог вычисляют в курсе теоретической механики. Это уже второй курс. Твое уравнение можно получить, продифференцировав закон сохранения энергии после исключения $\varphi$, который я тебе привел:
$$
\frac{m}{2}{v}_r^2+\frac{L^2}{2m r^2}-\frac{mM G}{r}=E.
$$
Но это не имеет смысла делать. Тебе все равно придется понижать порядок уравнения. Возьми первый том Ландау-Лифшица. Там приводится решение задачи, даже более сложной, - движение перигелия Меркурия. Примерно также и решается. Я вообще в толк не возьму, что ты хочешь доказать? Все что касается кеплеровского движения уже известно давно. Можно сказать с времен Ньютона. Менялось только представление результатов в той или иной форме.
Виктор Михайлович!
Я хочу доказать, что ДУ кеплеровского движения в той форме, что я привожу до меня никто не выписывал. Я пришел к нему не через энергии, а через координаты. До меня этого никто не делал. А если делал, то не афишировал.
Вы признали, что мое уравнение можно получить, продифференцировав закон сохранения энергии. Дифференцирование энергии со всей очевидностью приводит к силовому решению). К силовой записи закона движения. А такая форма наводит на размышления. Об инерциальных свойствах материи. В уравнении- то две силовые компоненты, как ни крути. Не мифические проекции, а ДВЕ ПРОТИВОБОРСТВУЮЩИЕ СИЛЫ.
Беру первый том Ландау.
Чудесный заход через энергии. Малая добавка к потенциальной энергии. Возмущенное движение. Смещение перигелия. Вуаля.
Я буду добавлять в свое уравнение возмущения ускорениями, что ближе и понятнее, как в случае с маятником Капицы. Помните?
Еще я хочу доказать, что рекуррентный алгоритм, которым я считаю истинную аномалию и закон движения r(t) - НОУ ХАУ, и до меня не применялся. Этот алгоритм альтернативен решению ДУ и не чувствителен к шагу времени.
С помощью этого алгоритма я хочу построить ПРОСТУЮ И ПРОЗРАЧНУЮ модель движения Луны. В отличие от существующих на сегодняшний день монструозных по сложности моделей.
Луна - это маятник с подвижной точкой подвеса. Я хочу объяснить известный, но непонятный закон движения R(t) для Луны с помощью моего уравнения.
Про Арнольда я вспомнил вот почему..
Я разложил в ряд Фурье истинную аномалию, как это делал Лаплас
И получил первые три приближения для r(t)
Это приближенные решения моего уравнения. В смысле эти функции ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ (приближенными) моего уравнения и доказывают эллиптичность траектории.
Они тоже никогда не выписывались в учебниках и справочниках.
Эти знания заслуживают внимания? Или все давно известно?
Иван! Наконец-то ты объяснил твою цель.
Эта цель, как я понял, указать на некий новый способ получения решения уравнений движения в центральном поле тяготения точки. Эта задача решалась, начиная с Ньютона, множеством различных способов, каждый из которых отражал определенную особенность возможного подхода. Здесь есть два вопроса.
Первый - зачем математики и механики решали эту задачу различными способами? Задача ведь уже решена.
Второй вопрос - почему от всех усилий по созданию методов остались только один-два-три варианта максимум? Последнее относится ко многим задачам физики и математики. В учебниках и современных монографиях остается только небольшое число окончательных результатов. Все "строительные леса" теорий остаются в старых журналах и монографиях.
Отвечу сначала на первый вопрос. Различные методы, как правило, важны тогда, когда они позволяют решать что-то новое, а уже решенные задачи при этом дают повод убедиться, что метод работает правильно и хорошо в каком-то смысле. Каждый метод имеет обобщение некоторых задач определенного круга, для которых другие методы не работают или не эффективны. Поэтому, твой подход, если он вообще нов, что вызывает сомнения, полезен только в том смысле, что он может быть применен к чему-то другому. Про это я тебе и говорил с самого начала, а ты старательно этого избегаешь.
Ответ на второй вопрос состоит в том, что в современной литературе остаются только самые эффективные методы, которые применимы, например, к максимально широкому кругу задач, т.е. определяют стандартный алгоритм действий, который приводит к решению в большинстве случаев. Еще один вариант - максимально технологичный метод, например, легко реализуемый на ЭВМ. Другой вариант - это образовательный процесс. В этом случае остается максимально простой по своей сути метод, который легко воспринимается в образовательном процессе.
С этой точки зрения, наиболее эффективным и технологичным методом решения кеплеровской задачи, которую приходится решать постоянно при анализе движения спутников по данным станций наблюдения, опирается на уравнение Кеплера и запись закона движения в форме, которая приведена у Дубошина. В другой раз приведу его полностью, поскольку в Космофизическом практикуме, разработанном в Лаборатории космических исследований, этот метод используется.
Еще один метод, основанный на общем решении задачи движения в центральном поле, не обязательно чисто кулоновском (так называется в физике центральное поле точечной частицы) основан на использовании интеграла энергии. Этот подход максимально универсален, прост и понятен. Фактически только эти два метода и остались при изложении теории чисто кеплеровского движения, но изначально вариантов было гораздо больше.
Это можно обнаружить, рассматривая решение более сложных задач. Например, решаются задачи о движении спутника не в сферическом поле тяготения, что соответствует реальности, учитывается трение в атмосфере на низких орбитах, учитывается влияние Солнца и Луны. Всё это делается для более точного определения положения спутника по данным наземных станций наблюдения, которые производят свои измерения от нескольких раз в сутки до нескольких измерений в неделю в зависимости от значимости объекта. Вот для этих задач уже стандартные методы решения простой кеплеровской задачи не подходят. Приходится что-то изобретать более сложное. Эта задача действительно трудна. Пример - до сих пор строят вероятностные гипотезы - упадет Апофиз или нет через 10-20 лет на Землю? Это следствие невозможности учесть всё.
Вот где надо прилагать усилия, а не в отыскании решения уже многократно решенной задачи без всякого желания применить это решение к чему-то более общему.
Виктор Михайлович!
Спасибо за подсказку с Ландау.
Появление малой добавки, обратно пропорциональной квадрату радиуса, с физической точки зрения непонятно. Эта добавка эквивалентна введению возмущающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.
Рассмотрим уравнение невозмущенного движения в форме баланса сил:
Добавим в это уравнение возмущающую силу Fвозм=0.1C2/r3
Физически это означает усиление инерционной компоненты. Как это может быть реализовано на практике? Представим, что центр инерции смещен относительно центра гравитации. Центр инерции вращается относительно центра гравитации, создавая добавку к центробежной силе инерции. Ситуация похожая на маятник Капицы с подвижной точкой подвеса. Там знакопеременная СИЛА ИНЕРЦИИ создает добавку к силе гравитации. (Здесь я опираюсь на работы Бутикова Е.И.)
К чему приводит такая ситуация? Прецессионное смещение перигея!! Все как у классика. Только причина более прозрачна. Не мифическая добавка к потенциалу, а реально действующая сила.
Согласитесь, что в уравнение баланса сил гораздо удобнее вводить возмущающие воздействия, нежели в уравнение энергий. Не правда ли?
Уважамемый Ingus!
При анализе динамики тел, движущихся во внешних полях, нужно четко указывать - в какой системе отсчета Вы пишите уравнения и строите их решения. Все выкладки Вы делаете с точки зрения инерциальной системы отсчета. Раз это так, то Вы должны понимать, что в инерциальной системе отсчета никаких "центробежных сил" нет. Единственная сила тяготения создает все составляющие ускорения тела, что и приводит к движению тела не по прямой, а по эллиптической орбите. Если бы сумма сил была бы равна нулю, то, согласно первому закону Ньютона, тело двигалось бы равномерно и прямолинейно или покоилось. В Вашем случае тело движется по эллиптической орбите.
Если перейти в неинерциальную систему отсчета, в которой тело покоится, то в ней появляется сила инерции (в том числе и "центробежная сила"), которая в точности уравновешивает силу тяготения. При этом, опять, выполняется первый закон Ньютона: при нулевой сумме сил тело движется равномерно или прямолинейно иои покоится, как в рассматриваемом случае. Так что не очень ясно, что Вы хотели сказать своими вычислениями.
Система отсчета у нас одна. Не штрихованная и не вращающаяся. Координаты абсолютные.
Уважаемый Ingus!
Вы упорно продолжаете выставлять свои материалы без всякого предварительного объяснения, для чего и для кого Вы это делаете. В Вашем блоге уже 17 материалов. Вы используете сайт Лаборатория космических исследований для своих скрытых целей.
Мы предлагали Вам сотрудничество. Без объяснений Вы прекратили общение, но не перестали выставлять материалы, набравшие тысячи просмотров. Понятно, что Вы распространяете ссылки на свои работы, опубликованные на официальном сайте, на котором указаны Российская академия космонавтики имени К. Э. Циолковского, Ульяновский государственный университет. Получается, что эти организации будто бы выдали согласие на публикацию Ваших работ.
Если от Вас не поступит объяснение цели выставления материалов на данном сайте, Ваши материалы будут сняты с публикации. Ваши действия можно сравнить с поведением бесцеремонного рекламщика, который расклеивает свои объявления не в предназначенных местах, а там, где более заметно.
Уважаемая Полина!
Вы сами предложили мне свободную публикацию материалов в "моем" блоге. Вы не предупредили, что для этого необходимо предварительное объяснение. Цели я свои не скрываю. Мне нужны собеседники, люди которые задаются теми же вопросами, что и я, живут теми же интересами, что и я. Возможно было ошибкой показать Холшевникову ссылку на Ваш сайт. Но не корысти ради).
Прошу меня простить, что не смог сотрудничать с Вами. Объяснение тут простое. Я переоценил свои возможности. Все нужно делать в свое время.
Красные надписи по поводу того, что материал выставлен в личном блоге, Вы не давали согласие на его публикацию и не разделяете мнение автора, по-видимому не работают.
Сегодня я распространяю лженауку, откровенные заблуждения и некомпетентные суждения, а завтра набегут торсионщики и эфирщики, не дай Бог Тесла какой нибудь... Так что, Полина, с чистой совестью удаляйте мои публикации. Лучше пусть люди читают про темную материю, черные дыры, и бозоны Хиггса.
Уважаемый Ingus! Спасибо за оперативный ответ, которым Вы убедили, что Ваши статьи следует оставить на сайте, несмотря на указанные замечания. Вам действительно была оказана поддержка, и комментарии на Ваши работы есть.
В Вашем случае скорее сработал механизм "использования". Лаборатория космических исследований - это прежде всего общество творческих увлечённых людей. Не имеет значение возраст, профессия, адрес проживания... Стихийно в Лаборатории и на сайте (это немного различные составы) собрались люди, у которых есть собственная цель - продвинуть свои идеи. Путём естественного отбора остаются верные своей мечте и уважающие интересы друг друга. Пришлось переживать эгоистическое отношение, пренебрежение и даже предательство. Но такие не задерживаются в Лаборатории. Никого не осуждаем, на их место приходят светлые и открытые.
Все признают, что физика сейчас в кризисе, необходим новый прорыв. Я с уважением отношусь к Вашим поискам истины при любом, неизвестном пока, итоге. Мы Вам можем предложить вести проект на сайте Лаборатории. Есть на сайте раздел Проекты (в главном меню слева колонка), в котором половина проектов приостановлена (вышли из Лаборатории те, которые их начинали). Но такая работа подразумевает сотрудничество. Все, кто выставляет свои работы на сайте, интересуется тем, что делают и другие участники сайта.
Выбор остаётся за Вами.
P.S. Поправьте, пожалуйста, форматирование Вашей статьи. При введении <!--break--> сместились строчки.
Уважаемая Полина! Простите еще раз за невольно проявленное неуважение к интересам других участников Лаборатории. Что я должен делать, чтобы вести Проект на сайте Лаборатории? Какие существуют формы сотрудничества с другими участниками сайта?
Уважаемый Ingus!
Подготовьте, пожалуйста, небольшую информацию, что Вы считаете возможным сообщить, о темах и цели своих исследований. Наверное, надо указать, с какими положениями официальной науки Вы не согласны. И подберите название проекта, под которым Вы будете выставлять свои материалы. Оно должно быть коротким и ёмким. Лучше сначала написать на электронную почту.
Никаких правил никто не устанавливал. Когда кто-то представляет новые материалы, они читаются, по возможности, обсуждаются. Ведь каждый человек ждёт ответной реакции. Вы же сами знаете, как дорого внимание к тому, во что вложено много сил.